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Teoremas matemáticos, tautologías y ajedrez

chess_250x251 Todo teorema matemático tiene incluido en sí mismo de forma tácita el sistema axiomático A (con sus axiomas, definiciones, postulados, reglas, etc.) en el que se sustenta. Supongamos un teorema T. Este teorema T sería en realidad T’ (T prima), de tal forma que T’ se enunciaría de la siguiente manera: “Supuesto un sistema axiomático A, deberá cumplirse T”.
T’ es un artificio para revelar explícitamente la dependencia de unos axiomas y reglas del teorema T original.
T’ se va a cumplir siempre; es una tautología, como todas la proposiciones matemáticas si están correctamente derivadas (para una visión conceptual acerca de los sistemas axiomático conviene consultar en el Capítulo 8 (“Axiomática”) del libro “Conceptos de matemática moderna” de Ian Stewart).
Los axiomas y las reglas que se usan en un sistema matemático están implícitas, se encuentran de forma tácita en cada teorema, el que no se expliciten no significa que no estén presentes.
Por hacer una analogía con el ajedrez, un teorema sería la posición de las piezas tras una partida con todos sus movimientos; con unas reglas mediante las cuales se han realizado los movimientos, que pueden ser comparables con los pasos lógicos de una demostración matemática; y con unos axiomas, que podrían simbolizarse en la posición inicial de las piezas y cuántas y cuáles son.
Pero los sistemas matemáticos no se pueden aplicar a la ligera en el mundo físico, no son válidos siempre cuando se trasladan como herramienta para hacer Física y tratar de comprender el universo. Por ejemplo, tomando los axiomas de Euclides generamos la geometría euclídea; pero eliminando el axioma de las paralelas podemos conseguir geometrías no euclídeas (según qué postulemos obtendremos la geometría hiperbólica o la elíptica), distintas de la anterior (donde el axioma de las paralelas sería falso) pero también consistentes (es decir, con un sistema de axiomas que no se contradicen entre sí).
Todos estos sistemas axiomáticos son válidos formalmente, lo discutible sería el ámbito de aplicación en Física. La geometría euclídea se podría usar en un ámbito clásico -por así llamarlo- de la Física y las no euclídeas se usarían, por ejemplo, en cosmología.

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