El pasado mes de septiembre (2010), en la Revista MACLA, se publicó el artículo “Caracterización de Sales Precipitadas a partir de Aguas de la Red Hidrológica de la Provincia de Valladolid” (Revista MACLA, nº13), del que soy coautor. Fernando Rull y Jesús Medina son los profesores que dirigieron la investigación. Fue presentada en la “XXX Reunión de la Sociedad Española de Mineralogía – Workshop on Biominerals and Biomineralization Processes”.
En el libro de Javier de Lorenzo, “La matemática: de sus fundamentos y crisis” (sobre la “célebre” e interesantísima “crisis de fundamentos”), hay un par de párrafos que resumen una lúcida idea de Gottlob Frege (los subrayados y negritas son míos):
“[Según Frege] las relaciones lógicas son epistemológicamente relevantes: si un pensamiento α es una consecuencia lógica de un conjunto de pensamientos π, es el conocimiento de los elementos de π lo que da firmeza al conocimiento de α.
A su vez, la independencia de α respecto a π muestra que hay alguna fuente de conocimiento que garantiza a α diferente a la fuente de conocimiento que garantiza a π. Y ello tiene consecuencias de carácter ontológico: si α se demuestra a partir de π, ello implica que α no agrega ningún compromiso ontológico nuevo al aportado por π, pero si α es independiente de π ello implica que lo que garantiza a π no se compone ontológicamente con lo que garantiza a α.”
Roger Penrose, en su libro “El camino a la realidad” resume en unas pocas líneas la “paradoja de Russell“:
“Esta paradoja procede del siguiente modo. Consideremos el conjunto R que consiste en “todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos”. (Por el momento, no importa si uno está dispuesto a creer que un conjunto pueda ser miembro de sí mismo. Si ningún conjunto pertenece a sí mismo, entonces R es el conjunto de todos los conjuntos.) Planteamos la pregunta: ¿qué pasa con el propio R? ¿Es R un miembro de sí mismo? Supongamos que lo es. Entonces, puesto que pertenece al conjunto R de conjuntos que no son miembros de sí mismos, no pertenece a sí mismo después de todo: ¡una contradicción! La hipótesis alternativa es que no pertenece a sí mismo. Pero, entonces, debe ser un miembro de la familia de conjuntos que no son miembros de sí mismos, a saber, el conjunto R. Así pues, R pertenece a R, lo que contradice la hipótesis de que no pertenece a sí mismo. ¡Lo cual es una clara contradicción!”
Esta paradoja se puede expresar de otras formas. Entre las diferentes versiones que se pueden encontrar, veamos este ejemplo extraído del libro “El teorema de Gödel” de Ernst Nagel y James R. Newman:
“… BERTRAND RUSSELL construyó una contradicción dentro del sistema mismo de la lógica elemental, que es precisamente análoga a la contradicción primeramente desarrollada en la teoría cantoriana de las clases infinitas. La antinomia de RUSSELL puede ser enunciada del modo siguiente. Las clases parecen ser de dos tipos: las que no se contienen a sí mismas como miembros y las que sí se contienen. Una clase será llamada “normal” si, y solamente si, no se contiene a sí misma como miembro; en otro caso se la llamará “no normal”. Un ejemplo de clase normal es la clase de los matemáticos, ya que, evidentemente, la clase misma no es un matemático y, por tanto, no es un miembro de sí misma. Un ejemplo de clase no normal es la clase de todas las cosas pensables, ya que la clase de todas las cosas pensables es, a su vez, pensable y, por consiguiente, un miembro de sí misma. Sea “N”, por definición, la clase de todas las clases normales. Preguntamos si N mismo es una clase normal. Si N es normal, es un miembro de sí misma (pues, por definición, N contiene a todas las clases normales); pero, en ese caso, N es no normal, porque, por definición, una clase que se contiene a sí misma es no normal. Por otra parte, si N es no normal, es un miembro de sí misma (por la definición de no normal); pero, en ese caso, N es normal, porque, por definicion, los miembros de N son las clases normales. En resumen, N es normal si, y solamente si, N es no normal. De lo que se desprende que la afirmación “N es normal” es verdadera y falsa a la vez. Esta fatal contradicción se produce como consecuencia de utilizar sin espíritu crítico una noción aparentemente diáfana de clase, Posteriormente fueron encontrándose otras paradojas, construidas todas por medio de familiares y aparentemente convincentes modos de razonamienro. Los matemáticos acabaron comprendiendo que, en la tarea de desarrollar sistemas consistentes, la familiaridad y la claridad intuitiva son soportes harto débiles en que apoyarse.”
Hay un artículo de Carlos M. Madrid Casado que habla de las posibles diferencias de cardinalidad entre la mecánica cuántica ondulatoria de Schrödinger (continua) y la mecánica cuántica matricial de Heisenberg (discreta). Pese a las pruebas de equivalencia matemática (que supondrían una equivalencia a nivel “instrumental”), el problema no se resolvería, sólo se desplaza a un nivel “ontológico” o “filosófico”, surgiendo un problema de interpretación. Las dos teorías, aun válidas matemáticamente, filosóficamente son incompatibles, contradictorias en sus fundamentos. Ontológicamente seguiría habiendo una diferencia de cardinalidad entre ambas teorías y, con ello, no habría una equivalencia “física” total, sólo “matemática” (a nivel de “resultados” sí, pero no iguales en “esencia”).
Aquí lo tenéis, a ver qué os parece, se titula el artículo “Entre Física, Matemáticas y Filosofía”:
http://www.nodulo.org/ec/2009/n085p01.htm
- Extracto (siendo MM la Mecánica Matricial de Heissenberg y MO la Ondulatoria de Schrödinger, la negrita y subrayados son míos):
“Nuestro propósito es construir un argumento por reducción al absurdo contra el realismo estructural a partir de nuestro caso de estudio. Supongamos por hipótesis que los modelos matemáticos MM y MO son, respectivamente, isomorfos a las estructuras de los sistemas reales X e Y que aspiran a representar. En principio, si la relación entre modelo y realidad es de isomorfismo, las estructuras de X e Y deben ser también isomorfas, dado que MM y MO lo son (Teorema de Equivalencia de Von Neumann) y la composición de isomorfismos es isomorfismo (si X es isomorfo a MM, MM y MO son isomorfos y MO es isomorfo a Y, entonces X e Y son isomorfos). Ahora bien, realmente, ¿son la estructura de X y la estructura de Y isomorfas?
Si lo fueran, deberían tener la misma cardinalidad, como es matemáticamente bien conocido. Pero esto no es, ni mucho menos, así. La estructura de X es discreta, dado que el dominio de MM son los números naturales (lo que se asociaba a una concepción corpuscular del microcosmos). En cambio, como estudiamos, la estructura de Y es continua, dado que el dominio de MO son los números reales (lo que se asociaba con una concepción ondulatoria del microcosmos). MM y MO nos dibujan dos estructuras de la realidad no isomorfas. Resumiendo: MM y MO son matemática y empíricamente equivalentes, pero estructural y ontológicamente incompatibles. Contradicción.“
Las ideas y premisas que vamos a utilizar para nuestro razonamiento (procurando aunar el suficiente rigor con un propósito didáctico para quienes tienen ya nociones), aunque se admiten matizaciones, vienen descritas en cualquier manual de Economía Política básica de cualquier lugar del mundo, excepto en países como Cuba y Corea del Norte. Usemos, por ejemplo, el libro “Economía. Teoría y Política” de Francisco Mochón Morcillo, la cuarta edición de McGraw-Hill. Lo veremos desde un punto de vista cualitativo y general.
Tomemos, ceteris paribus, las gráficas que representan la oferta y la demanda de empleo (en un “mercado de trabajo” ideal, homogéneo, etc.) bajo las coordenadas “P” (P = Salarios) y “Q” (Q = cantidad de trabajo).
Con ello tenemos esta gráfica (damos por conocida por el lector la teoría económica que describe el funcionamiento y características del “mercado de trabajo“, con estas gráficas, funciones y demás; de todas formas, viene recogido en los capítulos 10 y 11 del libro de Mochón), con S la oferta del empleo y D la demanda y “q” y “p” los valores concretos de la cantidad de empleo y del salario del punto de equilibrio. Cabe precisar que son los trabajadores quienes ofertan su trabajo y las empresas quienes lo demandan, eso representan respectivamente S y D. El punto de intersección entre ambas representaciones es el punto de equilibrio y lo que en la práctica se produciría en un mercado libre. ¿Pero qué pasa si imponemos por ley un salario mínimo?
Antes, leamos unos párrafos del capítulo 20 del libro de Mochón (la negrita es del texto original, los subrayados míos):
“El equilibrio en el mercado de trabajo determina el nivel de empleo de equilibrio, que es además el nivel de pleno empleo. Este nivel de empleo de equilibrio determina el nivel de producción de la economía vía función de producción agregada. De esta forma, en términos del modelo neoclásico el nivel de producción de equilibrio viene determinado exclusivamente por la producción ofrecida por las empresas, no por la producción demandada por los consumidores. Por ello puede afirmarse que en el modelo clásico/neoclásico es la oferta la que domina sobre la demanda.
(…)
Desde una perspectiva clásica, si existe desempleo éste sería voluntario, pues una reducción de los salarios reales aumentaría el empleo y la producción. En este sentido el desempleo se debe, en última instancia, a una inadecuada política de salarios, ya que éstos no se ajustan a los cambios en la función de demanda real de mano de obra.
Para los clásicos, dado que el desempleo está motivado porque los trabajadores piden un salario real superior al de equilibrio, cualquier aumento de la demanda agregada no lograría reducir el paro, pues las empresas no estarían dispuestas a aumentar el empleo a los salarios reales vigentes. Los posibles aumentos de la demanda agregada sólo se traducirían en aumentos de precios y posteriormente de salarios nominales, para evitar pérdidas del poder adquisitivo. En este sentido, se dice que los trabajadores no tienen ilusión monetaria.”
Cuando existe un salario mínimo impuesto por ley, los trabajadores “piden un salario real superior al de equilibrio” porque se ven obligados por ley. Con el salario mínimo se rompe ese equilibrio al ser, por definición, una intervención que impide el equilibrio.
Como se desprende del texto de Mochón, modificar la curva de demanda no es solución, por lo que es preferible dejarla como está. Por tanto, sólo queda margen de acción a la curva de oferta, es decir, a los trabajadores. La oferta se desplazaría hacia arriba hasta encontrar el nuevo equilbrio con el salario mínimo.
Vemos que, en efecto, ha aumentado el salario (p’>p), pero que la cantidad de personas con un empleo ha disminuido (q’<q, una cantidad de trabajo menor se cubre con menos trabajadores) respecto al equilibrio original (en un mercado libre no intervenido). Luego, resumiendo, subir el salario mínimo genera desempleo, aunque el salario de los que aún pueden trabajar sea más alto (el salario mínimo expulsa de este mercado de trabajo intervenido a aquellas personas que quieren trabajar por un sueldo menor). En concreto, aumenta el desempleo en los jóvenes, personas con poca formación, etc.
Los sindicatos, al apoyar intervenciones como éstas, no defienden los derechos de todos los posibles trabajadores, sino los privilegios de quienes ya tienen un empleo. Estos son los hechos y consecuencias que se derivan de la teoría económica convencional. El debate y la decisión entre elegir un modelo con más personas trabajando con menos salario u otro con menos trabajo disponible y mayores sueldos es un debate ideológico, no de la ciencia económica.
Las ideas filosóficas liberales defienden el primer modelo porque el salario mínimo, como intervención coactiva que es, atenta contra la libertad (incluso en el caso de un modelo o caso particular en el que el salario mínimo aumentara el empleo, si tomamos como premisa básica la libertad, no es admisible el salario mínimo -lo que no quiere decir que sea incompatible con otras formas de protección social a las personas más desfavorecidas-). Además, personalmente, pienso que una de las mayores lacras para una sociedad es un tasa elevada de paro, puesto que desanima a los que ya se encuentran en esa situación y provoca incertidumbres sobre el crecimiento de un país. Más empleo reduciendo los salarios aumenta las posibilidades de mejorar y prosperar. En la Historia de la Humanidad hemos visto cómo es el trabajo lo que lleva a nuevas ideas y a más progreso -salimos de la “pobreza” hasta llegar a donde estamos hoy-, por no olvidar el carácter edificante que tiene el trabajo en sí mismo. Por ello creo necesario eliminar esa coacción llamada “salario mínimo”, reduciéndolo progresivamente hasta su eliminación, evitando cambios bruscos y traumáticos. Para ello hace falta un consenso social fruto de la difusión de estas ideas y la refutación de muchos mitos. No al salario mínimo.
En resumen, si una persona libremente quiere (por las razones que sea) aceptar un empleo cobrando por debajo del salario mínimo, ¿por qué no puede hacerlo?
- Añadido del 11 de noviembre de 2009:
Me indican que un salario mínimo suficientemente bajo no tiene incidencia sobre el empleo. Esto, lógicamente, es correcto. En el post considero como supuesto tácito un salario mínimo por encima del punto de equilibrio, puesto que por debajo no tendría sentido establecerlo. Como podemos ver en la gráfica, cualquier salario mínimo por debajo del punto de equilibrio no incide sobre el mercado de trabajo; no tiene ningún efecto ya que hay libertad para que se encuentren sin restricciones las funciones de oferta y de demanda en el punto de equilibrio. Pero entonces, ¿qué sentido tendría imponerlo? ¿Por qué no quitarlo? En ambos casos, si queremos un mercado de trabajo libre y razonable, no debemos fijar un salario mínimo.
También quiero resaltar que no creo que el salario mínimo sea la razón principal del desempleo en España, ya que, como acertadamente me señala por Facebook José Bailén, hay otros factores más decisivos, como que los beneficios por desempleo son muy altos (“muchísimo más altos que en otro país de la OCDE“, me dice José) o la rigidez de los contratos y el elevado coste de despido. Con este post he pretendido desmitificar el tema del salario mínimo y combatir la desinformación que produce la demagogia de Zapatero cuando lo saca a colación, desmontando una de sus ocurrencias populistas más queridas; aparte del interés didáctico que tiene por sí mismo.
En el libro “¿Por qué el mundo es matemático?” (1992) de John D. Barrow viene recogida una idea sobre codificación usando números primos y la idea de las “funciones trampilla”. Llama la atención que un concepto tan sencillo pueda ser tan útil en criptología (la negrita, como acostumbro, es mía).
… Hemos distinguido entre operaciones que son computables y las que no lo son. Pero en la vida real, el ser computable quizá no sea muy útil si el programa que efectúa la computación requerida necesita un millón de años para llevarla a cabo. El mundo podría ser matemático, e incluso lleno de funciones computables, y aun así podría ser de una profundidad y complejidad tal que seamos incapaces de encontrarlas en nuestros ordenadores más rápidos incluso si estuvieran funcionando durante miles de años. De hecho, la existencia de problemas tan “difíciles” se explota en gran medida en el mundo moderno. Muchos códigos sofisticados utilizados para proteger secretos militares o comerciales se basan en codificaciones que son indescifrables en la práctica aunque no lo son en principio. Con esto queremos decir que sería necesario utilizar los ordenadores más rápidos durante miles de años para explorar todas las posibilidades de acceso al código (que para entonces, obviamente, ya habría sido cambiado).
Códigos como éste explotan la existencia de operaciones matemáticas llamadas funciones “trampilla”, que son muy fáciles de ejecutar en una dirección pero prácticamente imposibles de ejecutar a la inversa, igual que es fácil caer por una trampilla pero no es tan fácil salir de nuevo. Por ejemplo, si tomamos dos números primos muy grandes, cada uno de ellos con cientos de cifras, y los multiplicamos entre sí, entonces ésta es una operación sencilla que un ordenador puede realizar en una fracción de segundo. Pero demos a un ordenador de cualquier tipo el número resultante de doscientos dígitos y pidámosle que encuentre los dos números primos en que se factoriza: podría ser necesario el tiempo de toda una vida para llegar a la respuesta. Consideremos la lección de este ejemplo; la naturaleza podría estar codificada de algún modo por las matemáticas y la codificación equivaldría quizá a alguna ley de la naturaleza. Sería posible que descubriésemos esta codificación utilizando sólamente algunos principios de simetría, consistencia y simplicidad, y aún seríamos incapaces en la práctica de aplicarla al revés para determinar la verdadera naturaleza de las cosas a partir de las apariencias codificadas.
Podemos ilustrar de qué forma se utilizan las funciones trampilla para codificación con un ejemplo sencillo. Supongamos que yo quiero enviarle un mensaje secreto. Mi “codificación” es bastante primitiva y consiste en colocarlo en un cofre metálico y poner un candado. La “decodificación” corresponde a abrir el cofre. ¿Cómo puedo hacerle llegar el mensaje sin enviarle la llave de alguna forma y hacerlo así vulnerable a terceras personas que están tratando de robarlo? A primera vista parece imposible, pero no lo es; yo cierro la caja con el candado y se la envío a usted, guardándome mi llave. Usted coloca también su propio candado en la caja, lo cierra, conserva su llave y me devuelve la caja con dos candados. Yo retiro mi candado con mi llave y le devuelvo a usted la caja, y entonces quita su candado y saca el mensaje. ¡Y ninguno de los dos necesita saber nada sobre la llave del otro! En la vida real se utilizan números en lugar de llaves. Codifique su mensaje en algún número grande, N, y multiplíquelo por su número primo grande secreto p para obtener el número Np. Transmítame Np y yo lo multiplico por mi número primo secreto q para obtener el nuevo número Npq. Yo le devuelvo a usted Npq y usted lo divide por p para obtener Nq que luego me devuelve. Yo lo divido por q y obtengo N que es el mensaje. En ninguna etapa necesito conocer p ni usted conocer q, y si cualquier otro intercepta los números compuestos que nos estamos enviando de ida y vuelta, se enfrentaría con la tarea de encontrar los divisores primos de cierto número gigantesco, lo que le llevaría decenas o centenas de años. Para evitar dicha posibilidad cambiamos simplemente nuestros números p y q con cierta frecuencia. Aunque esta idea es brillante y sencilla, sólo se viene utilizando desde hace menos de veinte años.
Santiago Ramón y Cajal en su libro “Reglas y consejos sobre investigación científica“, subtitulado “Los tónicos de la voluntad”, explica ciertas consideraciones generales sobre los métodos de la Ciencia. Como acostumbro, la negrita es mía.
La historia de la civilización humana demuestra hasta la saciedad la esterilidad de la metafísica en sus reiterados esfuerzos por adivinar las leyes de la Naturaleza. Con razón se ha dicho que el humano intelecto, de espaldas a la realidad y concentrado en sí mismo, es impotente para dilucidar los más sencillos rodajes de la máquina del mundo y la vida.
Ante los fenómenos que desfilan por los órganos sensoriales, la actividad del intelecto sólo puede ser verdaderamente útil y fecunda reduciéndose modestamente a observarlos, describirlos, compararlos y clasificarlos, según sus analogías y diferencias, para llegar después, por inducción, al conocimiento de sus condiciones determinantes y leyes empíricas.
Otra verdad, vulgarísima ya de puro repetida, es que la ciencia humana debe descartar, como inabordable empresa, el esclarecimiento de las causas primeras y el conocimiento del fondo sustencial oculto bajo las apariencias fenomenales del Universo. Como ha declarado Claudio Bernard, el investigador no puede pasar del determinismo de los fenómenos, su misión queda reducida a mostrar el cómo, nunca el porqué de las mutaciones observadas. Ideal modesto en el terreno filosófico, pero todavía grandioso en el orden práctico, porque conocer las condiciones bajo las cuales nace un fenómeno, nos capacita para reproducirlo o suspenderlo a nuestro antojo, y nos hace dueños de él, explotándolo en beneficio de la vida humana. Previsión y acción: he aquí los frutos que el hombre obtiene del determinismo fenomenal.
Un libro verdaderamente notable con gran cantidad de párrafos que merecerían ser reseñados. Independientemente de que se pueda estar totalmente de acuerdo con ellos o no, son muy amenos y estimulantes.
En “Poincaré. Matemático visionario, politécnico escéptico” de Javier de Lorenzo (Ed. Nivola) se pueden leer estas líneas (la negrita es mía) que marcan la importancia que daba el famoso matemático francés a los números naturales y al principio de inducción completa:
“… Poincaré encuentra que el número natural es la expresión de un rasgo humano básico: expresa la capacidad de reiterar una acción desde que la misma es posible. Lo que se tiene es la posibilidad de un acto, de una operación, y esa posibilidad se actualiza en cada ocasión. Si se tiene el número a, se tendrá la posibilidad de actualizar una operación, la de sucesor o uno más, y así obtener el número a + 1. Ello supone un acto, una operación que implica un reiteración uniforme, estable y que carece de límite alguno. (…)
… La posibilidad de la reiteración no origina tan solo la sucesión ordinal de los números naturales sino que, como manifestación de la capacidad de reiterar un acto (en este caso, el uno más) desde que este acto se hace posible, da paso a la inducción completa. Es la inducción completa el razonamiento propio demostrativo que también subyace a este acto reiterativo, reflejo de esa capacidad intrínseca de la razón humana. (…)
Las definiciones por recursión y la demostración por inducción completa se plasman lingüísticamente en juicios que, para Poincaré, son sintéticos a priori. Por ello el pensamiento matemático es autónomo, irreducible tanto a la lógica como a la experiencia.
(…)
… El principio de inducción completa, irreducible tanto al principio de contradicción como a la experiencia, constituye una de las plasmaciones de la potencia del espíritu que se sabe capaz de concebir la repetición de un mismo acto desde que este acto es posible y constituye el razonamiento matemático por excelencia.”
Paul Strathern en “Russell en 90 minutos” describe brevemente y con amenidad el teorema de Gödel:
“Segun la prueba de Gödel, todo sistema complejo, tal como las matemáticas, que trate de fundarse sobre axiomas está condenado a contener proposiciones aparentemente verdaderas cuya verdad o falsedad no puede ser probada dentro de él. Se tiene que introducir siempre otro axioma de fuera del sistema a fin de probar la verdad o la falsedad de tales proposiciones. Pero tan pronto como se introduce el nuevo axioma que las hace demostrables se generan nuevas proposiciones cuya verdad o falsedad no puede ser probada. En otras palabras, todo intento de basar las matemáticas en un conjunto de axiomas fundamentales está condenado al fracaso. Las matemáticas son incompletas por su propia naturaleza.”
Esta es una explicación del teorema de Gödel que, aunque deba precisarse más (ver en la Wikipedia para mayor profundidad), es bastante útil para entender los argumentos de mi blog en que hago uso de este teorema.
Bienaventurados los que lloran, porque ellos serán consolados. Mt. 5, 5.
Hagamos un experimento mental muy relacionado con el “problema del Mal”.
Supongamos una “caja” de proporciones astronómicas que aísla termodinámicamente una porción del espacio (es un sistema aislado termodinámicamente, por lo que se puede hacer uso de la “segunda ley de la termodinámica”), conteniendo idealmente la materia, energía, calor, etc. en su interior sin escapar al resto del universo. Dentro de dicha porción hay una estación espacial donde hay un niño que vive con sus padres y pasará en la estación toda la vida. Sus padres le tratarán bien: tendrá capacidad de realizarse como persona ya que tiene avidez por todo tipo de conocimiento y tiene libros, vídeos e incluso realidad virtual para simular y poder sentir todo lo que no contenga la estación. Incluso, si alguien me achaca que el niño no podrá ser feliz realmente sin relacionarse con otros humanos, añado que se relacionará con otros niños de la colonia espacial. Agréguese lo que se crea que hace falta para ser razonablemente feliz.
En definitiva, el niño consume felizmente su vida allí. Después, al ser la “caja” un sistema aislado termodinámicamente, acaban -tras muchísimo tiempo- por igualarse todas las temperaturas, la materia se disgregará y se llegará a lo que se llama “muerte térmica” de esa porción de universo. En este estado de cosas, la materia, la energía y el calor están distribuidos uniformemente dentro de la hipotética caja. Entonces, la abrimos y todo lo que queda en su interior se difunde poco a poco por el resto del universo.
Ahora supongamos una segunda opción. El niño, en vez de vivir felizmente, es sometido por sus propios padres a todo tipo de abusos y tormentos. Finalmente muere sin alcanzar ser mínimamente feliz. Se llega de nuevo a la muerte térmica de “la caja” y todo queda uniformemente repartido como en el caso anterior. Se vuelve a abrir la caja en el mismo momento que había sido abierta la anterior. Desde un punto de vista físico, la situación del universo ahora es la misma que en el primer caso (puesto que todo lo que había en el interior de la caja está igualmente distribuido uniformemente, al menos en términos estadísticos). Sólo queda una pregunta: ¿dónde va el sufrimiento?
Faraday también empezó a leer libros del tipo hágalo usted mismo, porque se daba cuenta de que si tenía que ser hombre de ciencia, tendría que aprender no sólo las teorías sino también sus técnicas. En La mejora del espíritu, libro escrito por el doctor Isaac Watts, Faraday aprendió las cuatro mejores formas de convertirse en inteligente: ir a conferencias, tomar cuidadosas notas, mantener correspondencia con personas de intereses similares y unirse a un grupo de discusión.
Extraído de “Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo” de Michael Guillen (la negrita es mía).
Bertrand Russell, en “La evolución de mi pensamiento”, capítulo 10:
“Principia Mathematica tuvo en los primeros momentos una acogida un tanto desfavorable. La filosofía matemática en el Continente estaba dividida en dos escuelas: los Formalistas y los Intuicionistas, y las dos rechazaban totalmente la derivación de las matemáticas de la lógica y se aprovechaban de las contradicciones para justificar su repudiación.
Los Formalistas, dirigidos por Hilbert, mantenían que los símbolos aritméticos son simples signos sobre el papel, vacíos de sentido, y que la aritmética consiste en ciertas reglas arbitrarias, como las reglas del ajedrez, con las cuales pueden manipularse tales signos. Esta teoría tenía la ventaja de que evitaba toda controversia filosófica, pero tenía la desventaja de que era incapaz de explicar la aplicación de los números al acto de contar. Todas las reglas de manipulación dadas por los Formalistas se verifican si el símbolo 0 se toma como significando cien, mil o cualquier otro número finito. La teoría es incapaz de explicar lo que quiere decirse con frases tan simples como ‘hay tres hombres en esta habitación’ o ‘hubo doce apóstoles’. La teoría es adecuada para hacer sumas, pero no para las aplicaciones del número. Puesto que son las aplicaciones del número lo que la hacen importante, la teoría de los Formalistas debe considerarse como una evasión insatisfactoria.
La teoría de los Intuicionistas, dirigidos por Brouwer, exige un examen más serio. El nervio de esta teoría es la negación del principio del tercero excluido. Sostiene que una proposición solamente puede tenerse por cierta o falsa cuando existe algún método para averiguar que sea una cosa u otra. Uno de los principales ejemplos es la proposición ‘hay tres sietes sucesivos en la determinación decimal de π’. Hasta donde ha podido precisarse el valor de π, no hay tres sietes sucesivos, pero no existe razón para suponer que no los haya después. Si en lo futuro apareciese un punto en que se dieran tres sietes sucesivos, la cuestión quedaría decidida, pero si no se alcanza tal punto, ello no prueba que no exista más adelante. Por tanto, aunque podríamos llegar a demostrar que hay tres sietes sucesivos, nunca podremos probar que no los hay. La cuestión tiene gran importancia en relación con el análisis. Las expresiones decimales con un número infinito de cifras se producen algunas veces de acuerdo con una ley que nos permite calcular tantos términos como queramos. Pero algunas veces (así hemos de suponerlo) no proceden de acuerdo con ley alguna. Sobre los principios generalmente aceptados, este último caso es infinitamente más corriente que el primero, y, a menos que admitamos tales decimales ‘sin ley’, toda la teoría de los números reales se viene abajo y, con ella, el cálculo infinitesimal y la casi totalidad de las matemáticas superiores. Brouwer afrontó la posibilidad de este desastre sin titubear, pero la mayor parte de los matemáticos la hallaron insufrible.
El problema es mucho más general de lo que parece en los anteriores ejemplos matemáticos. El problema es: ‘¿Tiene sentido decir que una proposición es cierta o falsa cuando no hay medio de decidir la alternativa?’ o, para expresar la cuestión en otra forma, ‘¿Debe identificarse ‘cierto’ con ‘comprobable’?’ Yo no creo que podamos hacer tal identificación sin caer en grandes y gratuitas paradojas. Tomad una proposición como la siguiente: ‘El día 1 de enero del año 1 antes de Cristo nevó sobre la isla de Manhattan.’ No existe método concebible por el que podamos descubrir si esta proposición es verdadera o falsa, pero parece absurdo mantener que no es ninguna de las dos cosas. No seguiré tratando este tema, ya que los discutí con detalle en los capítulos XX y XXI de Investigación sobre el significado y la verdad, al que volveré a referirme en otro capítulo. Entre tanto, debo suponer que la teoría de los Intuicionistas ha de ser rechazada.”
Vemos en este texto que Russell cree haber desmontado las bases de formalistas e intuicionistas con argumentos bastante serios. Aunque hay que recordar que el logicismo que defendía Russell tampoco quedaba libre de objeciones graves, puesto que el teorema de incompletitud de Gödel acabó con el sueño de reducir las matemáticas a la lógica. En el libro “El desarrollo de la lógica” de William y Martha Kneale se dice que, a partir de los importantes resultados de Gödel, carecería de objeto la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos apartados de la matemática.
Me llama la atención en la crítica que hace Russell a los intuicionistas (que son una variedad de los matemáticos constructivistas) cuando dice esto: “Hasta donde ha podido precisarse el valor de π, no hay tres sietes sucesivos, pero no existe razón para suponer que no los haya después“. Con esta idea da a entender que las matemáticas se “descubren”, no se “inventan” -construyen-. Así, se puede llegar a la conclusión de que los “entes matemáticos” EXISTEN previamente en un “mundo mental” del que los tomamos. Al fin y al cabo, las proposiciones matemáticas “correctas” bajo un sistema axiomático lo son se hagan cuando se hagan las demostraciones de las mismas -incluso aunque no se realicen nunca-, no depende de que las “construyamos”: ¿o acaso los términos del número π varían con el tiempo, o el binomio de Newton cambia su desarrollo según el año en que lo ejecutemos?
Claro que cabría tener en cuenta qué significa “inventar”, que tiene dos acepciones según un diccionario on line: “1. tr. Hallar o descubrir una cosa nueva o no conocida y 2. Imaginar, crear.” Y, en el mismo diccionario, las acepciones de “descubrir” que tienen que ver con lo que estamos tratando son: “1. tr. Encontrar, hallar algo desconocido; 2. Inventar; 3. Venir a saber algo que se ignoraba; 4. Alcanzar a ver, registrar; 5. Manifestar, dar a conocer lo que no es público; 6. tr. y prnl. Destapar lo que está cubierto.” Vemos relaciones evidentes, el fundamento de lo que significan ambas palabras parece el mismo. Edison, cuando “inventó” la bombilla, se puede decir que “descubrió” que con un filamento de bambú carbonizado montado en el tubo central de cristal de una lámpara incandescente en la que se ha hecho el vacío hacía que dicho filamento alcanzara la incandescencia durante largo tiempo sin fundirse. Entonces, ¿qué es “inventar” sino “descubrir”? En todo caso habría una gradación de complejidad entre ambas palabras, siendo más elaborado “inventar” que “descubrir”, pero el fundamento, la esencia es la misma en ambos casos.
Ludwig Wittgenstein, en “Observaciones sobre los fundamentos de la matemática” -”Remarks on the Foundations of Mathematics-3rd edition”- (Alianza Editorial), en la Parte III (1939-1940):
“81. (…)
Imaginemos el caso siguiente: Las gentes de una tribu determinada sólo pueden calcular oralmente. Todavía no conocen la escritura. Enseñan a sus hijos a contar en el sistema decimal. Entre ellos son frecuentes los errores al contar, hay números que se repiten o se dejan sin que ellos lo noten. Pero un viajero graba fonográficamente su modo de contar. Les enseña la escritura y a calcular por escrito y les muestra, entonces, cuán a menudo se equivocan al calcular sólo oralmente. -¿Han de admitir esas gentes, ahora, que antes no calculaban propiamente? ¿Que sólo andaban a tientas, mientras que ahora caminan? ¿No podrían, incluso, decir: que antes les iban mejor las cosas, que su intuición no tenía que cargar con el material muerto de la escritura? Con máquinas no puede atraparse el espíritu. Dicen, por ejemplo: “Sí, como afirma tu máquina, antes repetíamos cifras, seguramente estaba bien como estaba.”
(…)”
“82. (…)
Si yo estuviera empeñado, por ejemplo, en producir contradicciones con fines estéticos, digamos, entonces aceptaría sin reparos la prueba inductiva de consistencia y diría: carece de toda esperanza el querer producir en este cálculo una contradicción; la prueba te muestra que eso no funciona. (Prueba en la teoría de la armonía.)”
Desde mi punto de vista, las matemáticas se pueden ver como “diseños”: tomamos diferentes ideas y los vamos, en cierta forma, “construyendo”. Al fin y al cabo, nosotros al operar “construimos” relaciones: podemos escoger entre representar un “4″ como un “2+2″, un “1+3″ o lo que sea, pero la “operación escogida” la plasmamos nosotros (cabe pensar que todas esas igualdades -relaciones- están ahí desde siempre, somos nosotros quienes elegimos una u otra de las ya existentes de un “mundo mental matemático” como el que imagina Roger Penrose; lo mismo puede pasar con los axiomas). En principio, podríamos formular cualquier relación, por ejemplo, “2+2=5″, o “3+4=576″; ya que en un primer momento bien pudiéramos no decidir tomar el “principio de no contradicción”. Luego podemos escoger añadir un sistema axiomático en el que incluyamos el principio de no contradicción y esas relaciones dejarían de ser válidas. Y así, poco a poco, ir añadiendo o quitando axiomas según los necesitemos para algo que queramos hallar, para desarrollar ideas que se nos ocurran o para que se ajuste a lo observado experimentalmente en un sistema matemático que dé cuenta de algún proceso físico.
Bajo esta forma de verlo, Gottlob Frege, en sus “Las Leyes Fundamentales de la Aritmética” (“Die Grundgesetze der Arithmetik”), aunque esté desarrollando -tal y como le avisó Russell por carta, formulando la “paradoja de Russell”- un sistema inconsistente, éste sería “posible y existente” si no tomamos el principio de no contradicción (eso sí, un sistema inconsistente no tiene demasiado interés para los matemáticos ya que, por el “principio de explosión”, de una contradicción se puede derivar como “cierta” cualquier cosa). Es decir, los sistemas formales -consistentes- no son más que algunos casos particulares -con principio de no contradicción, etc.- de los múltiples que podemos escoger de un “mundo mental”; cogemos ideas -o las “creamos” imaginándolas- de forma que se puede decir que las “construimos”; y, aunque esté presente el teorema de incompletitud (o incompletud) de Gödel, como podemos “añadir” axiomas según los necesitemos o queramos (la completitud, aunque deseable, no resultaría imprescindible).
¿Pueden acaso estas ideas -más o menos acertadas- servir para tratar de trascender las posturas de formalistas, constructivistas y logicistas en un nuevo marco conceptual filosófico que concilie y englobe las tres posturas lo más cordialmente que se pueda?
Kurt Gödel es famoso por sus aportaciones revolucionarias a la lógica matemática (como curiosidad cabe mencionar que llegó a formalizar lógicamente el argumento ontológico de San Anselmo). Douglas R. Hofstadter, en su famoso y “gran” libro -en todos los sentidos- “Gödel, Escher, Bach”, resume en una corta frase la aportación más destacada de Gödel:
“Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles“.
Este es el llamado “teorema de incompletitud de Gödel“ que lleva a afirmar que no pueden existir ‘sistemas lógico-matemáticos completos‘, “que permitan definir los números naturales como un conjunto“ (tal y como se precisa en la Wikipedia), fundamentados en un ‘sistema axiomático finito’ sin que sean a su vez inconsistentes -con lo que, tomando por válido el principio de explosión, se deduciría cualquier cosa-. Es decir, para que un sistema lógico-matemático sea “completo” (que no contiene afirmaciones que ni se pueden demostrar ni refutar) sin ser inconsistente debería tener infinitos axiomas; y además, para poderse aplicar el teorema de Gödel, debería ser un sistema en el que haya algún procedimiento efectivo que decide si una cierta declaración es un axioma (como explica en un artículo Eduardo Piza Volio, un “procedimiento efectivo” es una lista de instrucciones o un algoritmo que no requiera de ninguna ingeniosidad para ser ejecutado). Esto es imposible para el ser humano, pues es finito, pero no sería así para un supuesto ser todopoderoso: Dios. Un Ser al que, en principio, los humanos no podemos demostrar ni refutar de forma concluyente (siendo su existencia para nosotros, aparentemente, una “proposición indecidible“, con lo que nuestra lógica y conocimiento no sería completo).
Dios -si existe- debería ser capaz de construir un sistema lógico-matemático completo. En mi post “Dios, completitud e inconsistencia”, proponía que Dios, al construir este sistema, debería ser capaz de contradecirse, de manejar la inconsistencia en virtud de su omnipotencia. Además, afirmo que si -de existir- Dios es omnipotente o todopoderoso, no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; de hecho, se podría decir que Dios “crearía” las leyes de la lógica. Pero ahora bien, también podría construir un sistema completo mediante un número infinito de axiomas, lo que implicaría la “infinitud” de Dios (esto recuerda al Dios y el Infinito Absoluto del que habla Georg Cantor ). Resumiendo: si Dios es completo, debe ser infinito y/o inconsistente.
“La forma en que empleas la palabra ‘Dios’ no muestra en quién piensas sino lo que piensas”.
Ludwig Wittgenstein (Aforismos. Cultura y Valor, núm. 285).
Libet hizo un experimento que dio lugar a controvertidas y diversas interpretaciones. El experimento en cuestión consistió en pedirle a los sujetos que doblasen varias veces un dedo, o la muñeca de la mano derecha, pero a intervalos irregulares, de manera espontánea. Al mismo tiempo deberían fijarse en una pantalla en la que aparecía un reloj digital, para recordar el instante en que se les pasaba el impulso por la cabeza. Durante el proceso se tomaba la gráfica de las corrientes cerebrales y el resultado fue que que la chispa consciente se producía, en promedio, entre 0,3 y 0,4 segundos DESPUÉS de la aparición del potencial de alerta. Cuando los sujetos empezaban a acariciar la idea de doblar el dedo, la acción ya estaba decidida en realidad.
Dicho experimento ha sido interpretado por muchos como un argumento a favor de la tesis de no existencia del discutido libre albedrío -sería sólo una ilusión- y a favor del determinismo.
El problema de la mente, la voluntad y la conciencia tiene gran importancia porque, si bien podría ser que el libre albedrío no fuera más que una ilusión y nuestros actos y pensamientos estuvieran determinados por leyes físicas y biológicas, hay que admitir que, por lo menos, existen los conceptos en que pensamos (incluso cuando pensamos cometiendo errores tenemos pensamientos -errados, eso sí-), ya que no podemos negar que pensamos; de hecho, es algo evidente con sólo llegar a constatar que estas líneas escritas expresan ideas y conceptos. Es decir, todo lo que pensamos son objetos que podrían existir en un mundo mental, aunque no tienen por qué estar en la naturaleza. Pero entonces, ¿dónde están los pensamientos?
Si no existe el libre albedrío, podría considerarse que no existe el “yo” (el “yo” entendido como una entidad que tiene voluntad, identidad y personalidad). A favor de esto podría estar el hecho de que cuando nuestro cerebro es dañado, puede llegarse a cambiar nuestra personalidad (por ejemplo, si se afecta a la amígdala cerebral, se tienen cambios importantes en el comportamiento). Así pues, el “yo” podría no existir si no hay ciertas características como la voluntad. Pero si no fuera así, ¿dónde está el “yo”? De todas formas, pese a todo, siguen existiendo los pensamientos. Descartes decía pienso, luego existo, que se podría reinterpretar como prueba empírica -aunque no exista el “yo”- de que existen los pensamientos: “Pienso, luego existe el pensamiento”.
Se podría decir que los pensamientos existen en la naturaleza en los impulsos bioeléctricos cerebrales; pero estos no darían cuenta del “concepto” de círculo, por ejemplo, ya que un círculo perfecto no existe en la naturaleza (todo tiene una naturaleza discreta -la energía está cuantizada y la materia constituida por átomos-, luego no se podría construir un círculo acotado por una circunferencia conformada por una línea absolutamente continua), pero sí podemos imaginarlo, por lo tanto sí que existe el “concepto” de círculo aunque no exista en el mundo físico (o pensamientos como los sueños, que no existen en la naturaleza, pero toman conceptos prestados de ella).
Además, los impulsos cerebrales necesitarían de una interpretación para transformarlos en “pensamientos”. Unas cuentas en una pizarra no son más que unos rayones de tiza sin significado para el que no conozca el lenguaje matemático. Así pues, los impulsos cerebrales -o los rayones de tiza y las líneas escritas- requieren una interpretación semántica (como el experimento mental de la “habitación china” de John R. Searle), que podría ser lo que llamamos el “yo”, el alma o la conciencia.
Schrödinger, en su ensayo “¿Qué es la vida?”, en el epílogo, trata sobre este tema del libre albedrío, el determinismo, la vida y la conciencia, desde un punto de vista panteísta.
“Veamos, pues, si es posible llegar a la conclusión correcta, y no contradictoria de las dos premisas siguientes:
(i) mi cuerpo funciona como un mecanismo puro que sigue las leyes de la naturaleza.
(ii) Sin embargo, mediante experiencia directa incontrovertible, sé que estoy dirigiendo sus movimientos, cuyos efectos preveo y cuyas consecuencias pueden ser fatales y de máxima importancia, caso en el cual siento y me hago enteramente responsable de ellas.
La única conclusión posible de estos dos hechos es que yo —es decir, yo en el sentido más amplio de la palabra, o sea, toda mente consciente que alguna vez haya dicho o sentido “Yo”—soy la persona, si es que existe alguna, que controla el “movimiento de los átomos”, de acuerdo con las leyes de la naturaleza.
Dentro de un ambiente cultural (Kulturkreis), donde ciertas concepciones (que alguna vez tuvieron o tienen todavía un sentido más amplio entre otra gente) han sido limitadas y especializadas, resulta osado dar a esta sencilla conclusión la expresión que requiere. Decir en la terminología cristiana: “Por lo tanto, yo soy Dios Todopoderoso”, resulta a la vez blasfemo y extravagante. Pero dejemos a un lado este aspecto, por el momento, y consideremos si la deducción anterior no es acaso la más aproximada que un biólogo pueda alcanzar para comprobar a la vez la existencia de Dios y la inmortalidad.
Esta penetración no es nueva. Las primeras noticias referentes a ella que conozco datan de hace unos 2500 años o más. A partir de las primeras grandes Upanisad, la identificación ATHMAN = BRAHMAN (el yo personal equivale al eterno Yo omnipresente que lo abarca todo), lejos de constituir una blasfemia, era considerada en el pensamiento hindú como la representación de la quintaesencia de la más honda penetración en los acontecimientos del mundo. El anhelo de todos los discípulos del Vedanta era asimilar en sus mentes, después de haber aprendido a pronunciarlo con sus labios, este pensamiento supremo.
Más tarde, los místicos de todos los siglos, cada uno en forma independiente pero en completa armonía entre sí (algo así como las partículas de un gas perfecto), han descrito su experiencia única en términos que pueden condensarse en la siguiente frase: DEUS FACTUM SUM (me he convertido en Dios).”
“… cada uno de nosotros tiene la indiscutible impresión de que la suma total de su propia experiencia y memoria forma una unidad, muy distinta de la de otra persona. Nos referimos a ella con la palabra “yo”. ¿Qué es ese “Yo”?
Analizándolo minuciosamente, se verá que no es más que una colección de datos aislados (experiencias y recuerdos), o sea, el marco en el cual están recogidos. En una introspección detenida, se encontrará que lo que en realidad se quiere decir con “Yo” es ese material de fondo sobre el cual están coleccionados. Puede usted llegar de un país lejano, perder de vista a sus amigos, olvidarlos casi del todo; gana nuevos amigos y comparte la vida con ellos con tanta intensidad como lo había hecho con los anteriores. Cada vez será menos importante que, mientras usted vive su nueva vida, se acuerde todavía de la antigua. “El joven que yo fui” puede usted decir de él en tercera persona.”
Se plantea que todos los “yoes” son el mismo “Yo”; esta afirmación encaja en el pensamiento oriental, no así en el cristianismo. Podrían también verse a los pensamientos y al “mundo mental” o “mundo platónico de las ideas” como parte de una “mente universal” -¿Dios?- de la que todos participamos como un único ente, y así, siendo todo uno, el libre albedrío podría no tener razón de ser.
Resolver estas cuestiones, y averiguar si son ciertas o no y en qué grado, es de gran importancia, sobre todo a la hora de conciliar -si es que es posible- el pensamiento occidental con el oriental.
En el pasado XI Congreso Regional del Partido Popular de Castilla y León presenté una enmienda a la “Ponencia Política” que acabó derivándose a la “Ponencia Económica” con otras que tocaban temas similares. Se hizo una transaccional, es decir, algunas ideas fueron incorporadas al texto de forma resumida previo acuerdo con los ponentes (la enmienda era pretendidamente demasiado extensa para dar margen a los ponentes a la hora de redactarla encajándola con otras que llegaran). Trata fundamentalmente sobre energía nuclear y la reproduzco íntegra a continuación por su interés para el inminente 2009, año en que el Gobierno decide si extender o no la vida útil de la central nuclear de Santa María de Garoña (vienen como links algunos de los textos previos usados y las fuentes manejadas para la elaboración de la enmienda, además de otros nuevos que incluyo ahora -como el de “Nuclenor”, que tiene en su web “información de interés”-):
ENMIENDA PARA LA “PONENCIA POLÍTICA” DEL XXI CONGRESO REGIONAL PP DE CASTILLA Y LEÓN (por Ángel Rey Gallego)
Enmienda de Adición para adjuntarla en la sección 6ª, “La proyección de Castilla y León”, de la “Ponencia Política” (a incluirla antes del párrafo 134):
Mayor proyección energética
En estos momentos de crisis económica conviene recordar otro de los temas cruciales para nuestra sociedad que corre parejo al económico: el energético. Aunque no hay que desdeñar las energías renovables, todavía queda mucho que investigar para que éstas sean eficientes energéticamente y rentables económicamente. En cambio, estamos en momento decisivo para ser pioneros en la potenciación de la energía nuclear, una de las energías del futuro cuyo debate desprejuiciado acerca de su uso no se podrá demorar por mucho más tiempo. Una energía nuclear limpia y segura puede ser una interesante apuesta de futuro para el desarrollo de nuestra región. Si bien hay que impulsar las investigaciones en energías alternativas en Castilla y León, hemos de encontrar una solución a los problemas energéticos que nos surgen entretanto.
La energía nuclear es muy rentable en los aspectos energéticos y económicos, pero además es sostenible: no se emite CO2 a la atmósfera, con lo que disminuiríamos la contaminación en este sentido. Los residuos radioactivos son en efecto un problema, pero hay que recordar que se van “apagando”: bajando continuamente la radioactividad con el tiempo según su periodo de semidesintegración. Por ello, basta con gestionarlos de manera segura durante ese largo tiempo, ciertamente muy elevado; pero sabiendo que el volumen de residuos radioactivos es varios miles de veces menor respecto a los de tipo urbano o industrial, son relativamente fáciles de confinar comparado con ellos. No olvidemos que, según el OIEA (Organismo Internacional de Energía Atómica de las Naciones Unidas), los residuos de material radiactivo producidos en todo el mundo en un año rellenarían toda la superficie de un campo de fútbol con una profundidad de un metro y medio. En cambio, las centrales térmicas, por ejemplo, generan CO2 y demás residuos que son lanzados a la atmósfera, lo que no ocurre con la energía nuclear. Cuando un residuo no llega al medio ambiente no puede considerarse contaminación, por tanto, no se puede llamar contaminación a los residuos nucleares siempre que estén debidamente confinados.
Además de limpia, es una energía segura: de entre las distintas fuentes de energía en todo el mundo, tiene una de las menores tasas de muertos en accidente por terawatio-año de energía eléctrica producida. Una estadística poco conocida pero muy objetiva para evaluar su seguridad. Hay que añadir que los reactores nucleares actuales son “intrínsecamente seguros” (diseñados de tal forma que, por las propias leyes de la física, se autoestabilizarían las reacciones en caso de accidente). Conocer los hechos desnudos desmonta todos los mitos en contra de la energía nuclear.
Como exponente destacado en Castilla y León, tenemos la central nuclear de Santa María de Garoña (Burgos), que suministra en torno a la mitad de la energía eléctrica que consume nuestra Comunidad. Desde que comenzaron las obras de la central, se estima que Garoña ha empleado a unos 20.000 trabajadores entre directos e indirectos, con 600 puestos de trabajo en la actualidad. Por todo ello, es la empresa más importante de la zona y la sexta de la provincia de Burgos.
La empresa propietaria “Nuclenor” ha pedido la extensión de su vida útil hasta 2019, para lo que el CSN (Consejo de Seguridad Nuclear) tendría que dar el visto bueno. Pese a un eventual informe favorable, el Gobierno podría decidir igualmente su cierre; hemos de mostrarnos en desacuerdo con esta posibilidad basada en criterios energéticos ideologizados y demagógicos que perjudican al desarrollo de nuestra región.
Sería un buen inicio para el fomento de una cultura energética en que coexistan las energías tradicionales junto con las renovables y la nuclear: las necesitamos todas.
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- Justificación de la enmienda:
El debate del actual modelo energético se está dilatando artificialmente, pero antes o después habrá que tomar una decisión capaz de sostener nuestro modelo industrial. Irremediablemente, la única salida es fomentar la energía nuclear. Más vale ser los pioneros y apuntarnos el tanto que ir a rebufo de otras fuerzas políticas y perder la iniciativa.
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El tema de la central nuclear de Garoña va a tener que tratarse en este 2009, por eso he creído conveniente poner mi punto de vista sobre el tema y que así la gente que lo lea conozca algunos de los hechos. Además, me parece fundamental para España el debate energético, y en concreto el nuclear, por lo que pienso que hay que afrontarlo cuanto antes (dejando a un lado la vacilante actitud de los dos principales partidos).
También aprovecho para desearos a todos ¡¡Feliz Navidad y Feliz 2009!!
La reducción al absurdo, que tanto le gustaba a Euclides, es una de las más poderosas armas de un matemático. Va más allá que cualquier gambito en el ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer en sacrificio un peón o incluso una pieza mayor, pero un matemático ofrece el juego.
Godfrey Harold Hardy (1877-1947), matemático británico,
“A Mathematician’s Apology”
El principio lógico del tercero excluido dice lo siguiente: Toda proposición es verdadera o falsa, y entre estos dos valores de verdad no se admite nada intermedio o “tercero”; o, en términos semánticos, si dos proposiciones son contradictorias, al menos una de ellas es falsa. Muchos consideran que este principio es derivado del principio de identidad, ya que una cosa es o no es (versión ontológica) o ente dos cosas contradictorias no cabe término medio (versión lógica).
Brouwer -fundador de la corriente del intuicionismo en las matemáticas-, en cambio, objeta que el principio del tercero excluido es una abstracción que resulta de la experiencia respecto de objetos finitos y que se extendió a aquellos infinitos sin justificación.
Por su parte, Łukasiewicz y Tarski construyeron una lógica trivalente “cuyos valores de verdad son lo verdadero, lo falso y lo posible”. “En esta lógica no tiene lugar el principio de tercero excluido, en el sentido de que el principio no es expresable con los símbolos de la lógica misma y no constituye un teorema de ésta. En la lógica intuicionista de Heyting existen tres valores de verdad: verdadero, falso e indeterminado, lo que implica la renuncia a la demostración recurriendo a la reducción al absurdo.”
Si renunciamos a la reducción al absurdo, hay muchas demostraciones que no podrían realizarse (entre ellas, muchas de las demostraciones de la inexistencia de Dios -tal y como especulo en mi post anterior-). Por tanto, aunque las demostraciones conocidas de la existencia de Dios no son concluyentes, es cierto que las de la inexistencia de Dios tampoco lo son, al no ser válidas para absolutamente todo tipo de lógica matemática (y es posible que Dios, de existir, haga uso de este tipo de lógicas -o incluso de otras que ni siquiera seamos capaces de imaginar-).
Todas las demostraciones de inexistencia de Dios que conozco se basan en técnicas como la de “reducción al absurdo” o la de “contradicción”, luego no hay que considerar como demostraciones absolutamente certeras aquellas que usen estas técnicas (sería interesante reflexionar sobre la posibilidad de usar otras técnicas aparte de éstas, puesto que se ha visto que son limitadas). Por tanto, las “demostraciones” -que ya no son tales, así que mejor llamarlas “argumentos”- acerca de la existencia o no de Dios se deberían ver más como una tentativa por nuestra parte de llegar a entender cómo es Dios y por qué es así -la “esencia” de Dios y su forma de actuar y atributos-, y como análisis de las dificultades filosóficas y lógicas sobre cómo sería Dios -si existe- bajo “diversas condiciones y definiciones”, que como demostraciones absolutamente irrefutables (por ejemplo, se pueden hacer argumentaciones acerca de la existencia de Dios partiendo de puntos de vista distintos, con “condiciones” diferentes: tocando el aspecto cosmológico -como hacía Santo Tomás de Aquino-, con un argumento ontológico -como hacía San Anselmo- o viéndolo como un problema teleológico).
Circunscribiéndonos a la lógica formal aristotélica, quedaría por ver el método “directo” de demostración, fundamentado en un sistema axiomático. Pero todas estas argumentaciones acabarían por reducirse esencialmente a dos posibilidades de carácter tautológico: 1) “Dios existe, por tanto existe”; y 2) “Dios no existe, por tanto no existe”. Con ello, desde la lógica aristotélica no podemos extraer nada nuevo, derivando la cuestión a un problema de “verificabilidad de los axiomas“.
Como se acaba de ver, el hecho de negar el principio del tercero excluido, aparte de llevar a la aparición de unas interesantes y peculiares lógicas no clásicas -como la trivalente que hemos mencionado-, sirve para negar que las demostraciones de la inexistencia de Dios sean válidas para todo sistema lógico (en todo caso se pasaría el debate a los argumentos en defensa de una u otra opción para tratar de detectar cuál es la más probable, pero difícilmente “certera”).
En mi post “El problema del mal” hago mención de la “lógica difusa“ (o “borrosa”) que admite a las “medias manzanas“, que puede trabajar con este tipo de conceptos. Me gustaría enseñar de forma aproximada su fundamento con un ejemplo en palabras de Bart Kosko:
“Sostened una manzana en la mano. ¿Es una manzana? Sí. El objeto que tenéis en la mano es uno de esos bultos del espacio-tiempo que pertenecen al que llamamos conjunto de las manzanas, el de todas las manzanas que haya habido donde y cuando sea. Dadle un mordisco; masticad ese trozo y tragáoslo. Vuestro tracto digestivo va separando las moléculas de la manzana. El objeto que tenéis en la mano ¿es todavía una manzana? ¿Sí y no? Pegadle otro mordisco. El nuevo objeto ¿es todavía una manzana? Otro mordisco más. Y otro y otro, hasta que no quede nada. La manzana pasa de serlo a no serlo, y a ser nada. Pero ¿cuándo ha traspasado la línea que separa el ser una manzana de no serlo?”
“Cuando tienes media manzana, tienes tanto una manzana como no la tienes. La media manzana impide una descripción de todo o nada. La media manzana es una manzana borrosa.”
Estos extractos son de su libro “Pensamiento borroso”, un texto bastante interesante en el que se nos muestran las visiones antagónicas -o no, que en “lógica difusa” nada tiene por qué ser totalmente verdadero o falso- del pensamiento occidental (bivalente, dualista) y el oriental (multivalente y difuso o borroso): un “enfrentamiento” entre Aristóteles y Buda. Además, también nos hace ver la estrecha conexión entre el zen (ver mi post “Zen y samuráis: alcanzar el desapego”) y la lógica difusa.
Esto lleva a pensar en la necesidad de comprender totalmente este tipo de lógica y las filosofías y religiones orientales para tratar de llevar a buen puerto los diálogos interreligiosos que se realizan. Al fin y al cabo, Santo Tomás de Aquino tuvo que comprender plenamente a Aristóteles para “encajar” su filosofía en el cristianismo y hacer una síntesis; un cristiano debería entender plenamente el budismo -por ejemplo- si quiere tratar de llegar a integrarlo en él (teniendo en cuenta las distancias y diferencias de nivel -cualitativas y cuantitativas- que hay entre una “filosofía” -como es la aristotélica- y una “religión” -como es el budismo-).
No es sencillo; pero como rotundamente afirma el propio Bart Kosko, cuanto más de cerca se mira un problema en el mundo real, tanto más borrosa se vuelve su solución.
En el libro “Mecánica Teórica” de Murray R. Spiegel, en el Capítulo 1, viene un esquema de lo que son las bases de un sistema axiomático. Lo aplica a la Mecánica, pero serviría para cualquier “forma de pensamiento axiomático” (un tema que he tocado anteriormente en el post “Teoremas matemáticos, tautologías y ajedrez”.):
FUNDAMENTOS AXIOMÁTICOS DE LA MECÁNICA
Un desarrollo axiomático de la mecánica, como para cualquier otra ciencia, debe contener los siguientes elementos básicos:
1. Términos o conceptos no definidos. Es clara su necesidad, ya que en último término cualquier definición debe basarse en algo que no está definido.
2. Afirmaciones no comprobadas. Hay enunciados fundamentales corrientemente expresados en forma matemática, de los cuales se espera que lleven a descripciones válidas de un fenómeno en estudio. En general, estos enunciados, llamados axiomas o postulados, se basan en observaciones experimentales o abstracciones de ellas. En tal caso son llamados leyes.
3. Términos o conceptos definidos. En estas definiciones se emplean los términos o conceptos no definidos.
4. Afirmaciones demostradas. Son llamadas teoremas y se demuestran a partir de definiciones y axiomas.
Un ejemplo de la “forma de pensamiento axiomático” está dado por la geometría euclidiana en la que punto y recta son conceptos no definidos.
Unas palabras de una persona a la que debemos mucho por sus numerosos libros didácticos los estudiantes de ciencias e ingenierías; sirva este post en honor suyo.
Nota preliminar: Estas “Reflexiones filosófico-matemáticas sobre los viajes en el tiempo“ sirven de complemento a mi post “¿Una nueva dimensión temporal?”, aunque escribí gran parte de estas reflexiones antes de éste. Por ello, pese a que sea un tanto largo, pueda quedar poco riguroso y de explicación redundante en ciertas partes o confuso (confiando además en no introducir errores u omitir aspectos importantes, puesto que el tema a tratar puede llegar a ser abstruso), voy a mantenerlo prácticamente igual a como lo tenía en borrador, salvo ciertos añadidos y pequeñas correcciones. No son más que el mero esbozo de unas cuantas ideas sobre las que estuve meditando (aunque también enlazo a links de páginas y foros donde hay quienes están también realizando sus aportaciones acerca de estas cuestiones). Estos temas siempre tienen un alto interés entre ciertos grupos de gente, pero el enfoque sigue teniendo un cariz especulativo más que científico (al no ser empírico).
REFLEXIONES FILOSÓFICO-MATEMÁTICAS SOBRE LOS VIAJES EN EL TIEMPO
Observación previa: En estos párrafos no consideramos de una forma plena las llamadas líneas temporales flexibles o mutables, que permiten cambios de acontecimientos históricos en ellas, puesto que las considero inviables por la razón siguiente, que repetiré de nuevo en el texto: una línea temporal que ya ha existido no tendría por qué desaparecer por un viaje en el tiempo, puesto que si ha existido en algún momento, ya se puede considerar que existe, y si desapareciera no tendría sentido y sería contradictorio decir que no existe si ya ha existido; resumiendo: lo que en un momento y lugar ha existido, de alguna forma tiene que seguir existiendo en algún momento y/o lugar, ya que si no nunca habría existido. Pero una aclaración, sí que admito que una línea temporal puede cambiar en un intervalo finito de ella siempre que no afecte al resto -ni al pasado, ni al futuro-; es cierto que realmente la línea cambiaría aunque la variación fuera mínima, pero hacemos esta suposición o abuso de notación para simplificar los razonamientos.
Respecto al viaje en el tiempo con una sola línea temporal (sin universos paralelos):
Consideraciones:
- El tiempo es una medida del cambio; un segundo es igual a 9.192.631.770 períodos de radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), medidos a 0 K.
- “La energía ni se crea ni se destruye, solamente se transforma”. Ésta es la formulación coloquial del primer principio de la termodinámica, por ello, sabiendo que el tiempo es considerado como una medida del cambio, se supone que la energía total de nuestro universo se mantiene constante a lo largo del tiempo.
- También sabemos, por la ecuación que nos reveló Einstein (E = mc²), que la energía y la masa son equivalentes, pudiendo llamar al conjunto de ambos de nuestro universo “masa-energía total”, que será constante.
Según éstas consideraciones previas, la “masa-energía total” respecto al tiempo tendrá una imagen de la siguiente forma:
Figura-1
Imaginemos ahora que un viajero en el tiempo se dirige al pasado y permanece ahí durante un cierto tiempo, después, regresa al momento justo en que se encontraba. En la presente suposición tomamos que no hay universos paralelos en ningún momento, ni el viajero crea ninguno cuando viaja hacia atrás al cambiar algo, sino que la línea temporal es una y sólo una.
Cuando ese viajero esté en el pasado, el universo durante todo ese tiempo habrá aumentado su “masa-energía total” con la propia del viajero y lo que traiga con él. Al volver, suponemos que el viajero trae consigo toda la masa con la que viajó y cualquier energía que dejara durante su estancia en el pasado (fuerzas de rozamiento, etc.). En definitiva, imaginamos que, cuando el viajero regresa, la entropía total del universo queda igual que cuando llegó (si no suponemos esto, la línea temporal única que conjeturamos en la observación previa no podría darse, pues todo el universo a partir de la vuelta del viajero al futuro tendría una “masa-energía total doble prima” –debida a las fuerzas de rozamiento y demás que dejemos en el pasado–, mayor que la primigenia pero menor a la que habría mientras estuviera el viajero; con lo que, al llegar al momento futuro en que el viajero realiza su viaje al pasado, el universo tendría más masa que cuando realmente hizo ese primer viaje, llegando a una contradicción. Además, al volver el viajero, bajaríamos la “masa-energía total” del universo, pues nos habríamos dejado parte de ella en el pasado, aunque es verdad que podría compensarse con esta misma).
Quedaría una gráfica como ésta:
Figura-2
Donde <t1> y <t2> son los tiempos de llegada al pasado y vuelta al presente del viajero, <M-Et> es la “masa-energía total” previa y <M-E´> la “masa-energía total” que tiene esta línea temporal durante el tiempo en que el viajero está en el pasado. La función “masa-energía” frente al tiempo pasa a ser discontinua cuando se produce el viaje, con dos saltos finitos.
Pondré ahora unos añadidos extraídos de un foro, que contienen las mismas ideas desde una óptica ligeramente distinta: <<Como la entropía siempre aumenta con el tiempo, un salto temporal al pasado supondría un descenso de la entropía. Y eso es algo que no permite la segunda ley de la termodinámica. Por lo tanto, el viaje al pasado es imposible. Según la termodinámica, en el principio del universo la entropía era mínima, y el universo morirá cuando la entropía sea máxima.
Un salto temporal al futuro de un cuerpo significaría un aumento drástico de la entropía del sistema. Consideremos como sistema un habitáculo (la cápsula del tiempo). Dentro de ella cambia el tiempo de forma brusca (aumenta la entropía bruscamente). Pero esto no es exactamente posible porque en la práctica no existen sistemas totalmente cerrados (excepto el propio universo ya que fuera de el no hay ni tiempo ni espacio, es decir, no hay NADA, por eso el propio universo es el único sistema aislado totalmente) Como en la práctica no existen sistemas totalmente cerrados, ese aumento de entropía se difundiría por todo el universo, al igual que se difunde el agua por un recipiente o el calor por una habitación. En definitiva: todo el universo notaría el cambio temporal. Es decir aumentaría la entropía de todo el universo, que es lo mismo que decir que todo el universo entero habría realizado el salto temporal. Esto supone que si hiciéramos un viaje al futuro, “arrastraríamos” a todo el universo con nosotros en este viaje. Al final del viaje temporal resulta que no habríamos hecho ningún viaje puesto que todo el universo lo habría hecho.>>
<<Cuando hablo de viaje en el tiempo me refiero a un “salto” en el tiempo. Es decir, que pasas de un tiempo A a un tiempo X sin pasar por los tiempos que hay entre medio (B,C,D,…). Es decir, que no hablo de los viajes en el tiempo causados por velocidades relativistas, que no considero como auténticos viajes en el tiempo si no simplemente cambios en la velocidad del propio tiempo”>>
Retomando de nuevo la argumentación, si realizamos la integración de la función 1 (Figura-1) y de la función 2 (Figura-2), el área bajo la curva de la gráfica 2 es mayor que el de la gráfica 1. Este resultado violentaría el primer principio de la termodinámica, pues estaríamos creando energía. Iterando este proceso podríamos crear energía indefinidamente. Tendríamos una contradicción, con lo que por el razonamiento por reducción al absurdo podríamos colegir que no es posible el viaje en el tiempo (al menos según las condiciones dadas) si no se pueden crear universos o líneas paralelas que quizá corrijan este efecto.
Ahora bien, éstas gráficas recuerdan a la función salto de Heaviside, que en realidad es una distribución, no una función (pese al nombre que la damos), con lo que en las discontinuidades podríamos no estar teniendo en cuenta algo que corrigiera ésta aparente paradoja.
Otro caso: Suponiendo que el viajero, una vez realizado el viaje, no regrese, nos quedaría una gráfica análoga a la de la Figura-2, sólo que en este caso sólo habría un salto -no habría <t2>- y la “masa-energía total” se quedaría en el nivel <M-E´>, habiéndose creado energía igualmente, y seguiríamos teniendo nuestra contradicción.
Apunte final: En todos estos casos no estamos teniendo en cuenta que, cuando el viajero se dirija hacia atrás en el tiempo, el futuro se cambiaría necesariamente: aún por cualquier mínima variación, la línea temporal ya sería diferente, con lo cual en realidad ya estamos creando un universo paralelo (destruyendo o no la línea temporal original). En mi opinión, una línea temporal que ya ha existido no tendría por qué desaparecer por un viaje en el tiempo, puesto que si ha existido en algún momento, ya se puede considerar que existe, y si desapareciera no tendría sentido y sería contradictorio decir que no existe si ya ha existido. Por tanto, es posible que, si se puede viajar en el tiempo, estos viajes generen nuevos universos paralelos para no hacer desaparecer al original. Tendríamos problemas de nuevo, ya que al generar nuevos universos estamos creando nueva “masa-energía” (y en mucha mayor cantidad que en los pasados casos considerados). Una solución posible sería que con cada nuevo universo generado se genere otro a su vez con “masa-energía” negativa, llegando, si fundiéramos ambos universos, a una “suma cero”.
Con estos argumentos se podría afirmar (si no estoy pasando por alto algo que invalide el resultado) que no es posible el viaje en el tiempo teniendo sólo en cuenta una única línea temporal.
Es cierto que los procesos de viaje los suponemos instantáneos y sin intercambio de energía, y en realidad habría que tenerla en cuenta, pero no sabemos cómo van a ser esos intercambios (pudiendo cruzarse energías de tiempos diferentes e incluso entrar en juego universos paralelos), pero deberían evitar esta paradoja temporal termodinámica en que crearíamos energía (suponiendo que se cumpla estrictamente la primera ley de la termodinámica a lo largo de la flecha del tiempo). Quizá se evitaría la paradoja con compensaciones de “masa-energía” en los procesos de viaje en el tiempo extrayéndolas de algún universo paralelo u otras formas.
Otra posibilidad sería redefinir la primera ley de la termodinámica afirmando que la superficie bajo la curva “masa-energía” a lo largo de una línea temporal es constante entre el inicio y final de ésta (en un periodo infinito de tiempo), o dicho de forma matemática, la integral respecto del tiempo de la función “masa-energía” es constante entre “t = 0″ y “t = ∞” (infinito), con t = 0 como el instante inicial del universo. También se puede añadir que el valor de la integral entre dos puntos concretos “t = a” y “t = b” (con “a” y “b” valores de tiempo mayores que cero) depende de los límites de integración tomados: el valor de una integral específica entre dos momentos temporales dependerá siempre del intervalo “t” en el que integremos (He aquí la redefinición sacada del link enlazado: “The law of thermodynamics might be rewritten as follows: The amount of energy in any enclosed area over an infinite period of time remains constant.”).
Respecto al viaje en el tiempo con varias líneas temporales (con universos paralelos):
En este caso podemos viajar al pasado e intentar cambiarlo, pero seguimos suponiendo que la línea temporal de la que provenimos es rígida, puesto que, como hemos apuntado arriba, lo que en un momento y lugar ha existido, de alguna forma tiene que seguir existiendo en algún momento y/o lugar, ya que si no nunca habría existido (por este argumento, desechamos el que las líneas temporales puedan ser flexibles -que puedan cambiar-, pues introducirían paradojas). Con el intento de cambio del pasado pueden ocurrir dos cosas: que lo logremos (introduciendo una aparente paradoja), o que no.
- El último caso puede venir descrito en dos situaciones: porque de alguna forma no podamos cambiarlo aunque queramos, ocurriendo siempre algo que lo impida, o por el principio de autocoherencia de Novikov, que propone que nadie que viaje en el tiempo pueda generar una paradoja debido a que sus propias acciones resultarían coherentes con la línea temporal (aunque éste principio podría tener como consecuencia que todas las acciones estuvieran prefijadas de cara a la consistencia de la línea temporal, llevando a un determinismo que quizá acabara con el libre albedrío sin nosotros constatarlo).
- También tenemos el caso de que podamos cambiar el pasado, pero en base a la suposición de rigidez de nuestra línea, con el cambio introducido al viajar al pasado crearíamos un universo paralelo. Teniendo en cuenta esto, al regresar al futuro el viajero en el tiempo, podría llegar al futuro de esa línea paralela, no regresando a su línea original, y posiblemente creando otro universo paralelo más resultado de las variaciones introducidas en ese viaje al futuro que perturbaría la línea de nuevo.
Al estar creando nuevos universos paralelos, podríamos tener el mismo problema que en el caso de una sola línea temporal, por una posible violación del primer principio de la termodinámica (a menos que pueda solucionarse, o simplemente no se cumpla por alguna razón: ¿quizá en un hipotético procedimiento de viaje en el tiempo las reglas varíen?). Basándose en la teoría cuántica, que es probabilística, y afirmando que cuando algo ha ocurrido ya su probabilidad pasaría a ser del 100%, hay quien propone que los viajes al pasado serían sólo de visita, pero que volveríamos a nuestro tiempo original al regresar. Esto choca en parte con la observación previa que hemos tomado al inicio del texto, ya que esa línea de visita generada, al haber existido, tiene que pasar a existir de alguna forma Aunque se resolvería si fuera una línea paralela que perviviría mientras este el viajero en ella, destruyéndose al volver el viajero a la suya (quizá este universo paralelo colapsara sobre sí mismo en el momento del regreso del viajero), pero manteniéndose en algún tiempo y lugar –existiendo de hecho, aun no sabiendo ahora dónde ni cómo acceder a ese universo paralelo de duración limitada– ese pequeño intervalo de visita del viajero.
Apunte final: Ambas posibilidades de viaje en el tiempo con varias (o casi infinitas) líneas paralelas tienen sus inconvenientes de cara a su validez; no obstante hay que recordar que remarco que en todo lo concerniente a los viajes temporales podemos no estar teniendo en cuenta algo (es inevitable) y que la mente humana es suficientemente imaginativa y creativa como para llegar, si es posible, a solventar estos problemas como lo hizo antes a la hora de realizar otros hitos –para algunos “imposibles”–, como tratar de volar y demás ejemplos históricos.
Todo teorema matemático tiene incluido en sí mismo de forma tácita el sistema axiomático A (con sus axiomas, definiciones, postulados, reglas, etc.) en el que se sustenta. Supongamos un teorema T. Este teorema T sería en realidad T’ (T prima), de tal forma que T’ se enunciaría de la siguiente manera: “Supuesto un sistema axiomático A, deberá cumplirse T”.
T’ es un artificio para revelar explícitamente la dependencia de unos axiomas y reglas del teorema T original.
T’ se va a cumplir siempre; es una tautología, como todas la proposiciones matemáticas si están correctamente derivadas (para una visión conceptual acerca de los sistemas axiomático conviene consultar en el Capítulo 8 (“Axiomática”) del libro “Conceptos de matemática moderna” de Ian Stewart).
Los axiomas y las reglas que se usan en un sistema matemático están implícitas, se encuentran de forma tácita en cada teorema, el que no se expliciten no significa que no estén presentes.
Por hacer una analogía con el ajedrez, un teorema sería la posición de las piezas tras una partida con todos sus movimientos; con unas reglas mediante las cuales se han realizado los movimientos, que pueden ser comparables con los pasos lógicos de una demostración matemática; y con unos axiomas, que podrían simbolizarse en la posición inicial de las piezas y cuántas y cuáles son.
Pero los sistemas matemáticos no se pueden aplicar a la ligera en el mundo físico, no son válidos siempre cuando se trasladan como herramienta para hacer Física y tratar de comprender el universo. Por ejemplo, tomando los axiomas de Euclides generamos la geometría euclídea; pero eliminando el axioma de las paralelas podemos conseguir geometrías no euclídeas (según qué postulemos obtendremos la geometría hiperbólica o la elíptica), distintas de la anterior (donde el axioma de las paralelas sería falso) pero también consistentes (es decir, con un sistema de axiomas que no se contradicen entre sí).
Todos estos sistemas axiomáticos son válidos formalmente, lo discutible sería el ámbito de aplicación en Física. La geometría euclídea se podría usar en un ámbito clásico -por así llamarlo- de la Física y las no euclídeas se usarían, por ejemplo, en cosmología.
Una obra de Arte ha de tener una calidad buena, mala o regular de una forma objetiva, si no, valdría todo. Si dos personas afirman que, por ejemplo, una película es buena y mala alternativamente, una de ellas habrá de estar necesariamente más cerca de la “Verdad”; si ambas opiniones se aceptan, cualquier afirmación u opinión sería válida, al igual que de un sistema inconsistente (que contiene un enunciado contradictorio), debido al principio de explosión (“todo es demostrable cuando se tiene una contradicción”), “se puede deducir cualquier otro enunciado”. La Verdad no es democrática, sólo es o no es, independientemente de mayorías.
Es cierto que es difícilmente mensurable la calidad artística o la belleza de algo, pero eso no significa que no la tenga en concreto; igual que sólo porque no conozcamos o hayamos demostrado un teorema matemático éste va a dejar de ser verdadero o falso. Las verdades son objetivas, pero, debido a la imperfección y/o parcialidad del Ser Humano, tomamos ciertos aspectos como subjetivos, que no son realmente subjetivos en sí mismos, lo que son subjetivas son nuestras percepciones y análisis falibles, pero lo verdadero sigue siéndolo independientemente de lo que pensemos.
El Arte es muy difícil de definir -de momento no vamos a trazar una definición-, pero es evidente que un concepto mínimamente aproximado sobre ello existe… como también existe sobre realidades intangibles como el Amor o la Belleza, o sobre sensaciones que no se pueden medir fácilmente con números como el miedo.
El Amor, como el Arte, no es algo que se pueda medir de una forma absolutamente certera al ser una percepción personal difusa. Es una sensación que tenemos y que, con nuestros errores de percepción y de análisis o razonamiento, tratamos de asumir, comprender y reflexionamos sobre ella; pese a los problemas que podamos tener para cuantificarla, sí que graduamos en mayor o menor medida un mayor amor hacia alguien en particular que a otra persona, y mayor calidad artística de una obra frente a otra.
El amor o el goce que nos produce admirar un obra de arte (novela, cine, pintura…) son percepciones bien distintas aunque en ocasiones tengamos problemas al definir o identificar cada una de ellas y en qué medida se dan, pero siguen siendo, en tanto que son percepciones o sensaciones, experiencias empíricas reales. Decir que el arte no existe porque es “etéreo” y las definiciones dadas son contradictorias (no hay que olvidar que son tentativas de definir algo complejo) es como decir que conceptos con estos mismos problemas, como el amor (diferente del sexo) o la belleza, no existen.
Los problemas a la hora de clasificar y graduar una sensación no implican que ésta no exista o no sean de distintas magnitudes unas sensaciones cualitativamente iguales: por ejemplo, el miedo es un tipo de sensación con diferentes intensidades, pese a ser difícil de medir.
Hay que añadir que la calidad artística de una obra puede tener distintos factores o características, pudiendo ser dos obras de arte equivalentes en calidad general, difiriendo la valoración en distintos factores tomados uno a uno: serían obras sencillamente diferentes, aunque equiparables en calidad; como el juego “piedra, papel o tijera”, en el que los tres elementos son distintos pero no hay uno que sobresalga sobre el resto (aunque el ejemplo no es perfecto porque implica una competición, etc.).
El buscar medir todo a toda costa, el positivismo puede ser bastante útil en Ciencia, pero hay que tener en cuenta que hay campos difíciles de medir por su complejidad o que quizá, por alguna razón, no se puedan de ninguna manera.
Para terminar, voy a tratar de dar también una tentativa de definición y/o explicación de lo que es el Arte, que sería aquel producto que sublima y hace trascender la realidad y es capaz de que los seres humanos se impliquen emocionalmente con dicho producto. Por ejemplo, cuando en España vemos partidos de la selección española aparece una implicación emocional, pero no es una sublimación de la realidad, son emociones del mundo real; en cambio, una novela, aunque tome prestados elementos de la realidad, no es real, su tratamiento es ficticio (hasta las obras basadas en hechos reales son ficticias al plasmarlas). Añado además que “sublimar la realidad” es transformar lo real en otra cosa, concentrando e intensificando fuertemente las emociones y demás aspectos, llegando incluso a vislumbrar la esencia de lo que estamos examinando. El arte aporta algo que la realidad no tiene por sí misma, ya que el autor pone parte de su punto de vista y emociones en su obra.
Como vemos, es muy difícil de definir de una forma absolutamente rigurosa y, al explorar la cuestión, hay riesgo de desviarse del tema y tomar caminos erróneos al ser el Arte un algo insasible, pero para quien logra ver y comprender una obra de arte, la sensación es totalmente diferente de la realidad cotidiana, lo cual es una percepción empírica y real: acerca de esto podría establecerse como argumento científico el “síndrome de Stendhal” que, pese a ser considerada una enfermedad psicosomática difícilmente predecible y mensurable, es una constatación empírica. Esto nos lleva a pensar que algunas obras que no cumplan estas condiciones de “trascendencia” quizá no deban ser consideradas como Arte: una novela sin esa emoción especial que es la artística no sería literatura. También cabe plantearse que pueda haber personas incapaces o con dificultades para percibir enteramente esa sensación artística, pero eso no quiere decir que no exista.
Una definición filosófica posible para lo que denominamos “vida” sería aquella cualidad que permite a un ser poseer “voluntad” propia, es decir, la posibilidad de poder elegir. Un ente “vivo” es aquel que puede elegir por sí mismo, cuyas acciones son acordes con las leyes científicas de la Naturaleza -que en cierto modo acotan a aquellas en un marco de acción-, pero cuya elección -al menos aparentemente- no se desprende de ellas. Lo que piensa una persona en principio no se podría deducir de las leyes científicas, pues es un acto de la voluntad. Cuando alguien sostiene un lapicero en la mano puede, por ejemplo, decidir entre soltarlo o mantenerlo sujeto, pero esta elección no parece venir determinada por ninguna ley científica, sino que proviene de la voluntad propia del individuo (este punto de vista lo defiende el padre jesuita Manuel Carreira, que es Doctor en Física además de ser filósofo y teólogo). Lo que describen las leyes científicas es, entre tantas cosas, la fuerza gravitatoria que hace que el lapicero se venga abajo de no sujetarlo, pero no puede prever la elección que se vaya a hacer.
Por ello, suponemos que los animales y plantas pueden, en cierta forma, elegir en su limitado ámbito: escoger hacia qué dirección y cómo moverse, etc. Si no fuera así, no habría una “diferencia sustancial” entre la forma de crecimiento de un árbol y la formación de algún tipo de roca o cristal, pues vendría todo ello regido por leyes científicas naturales que explicarían perfectamente ambas cosas, lo único en que se diferenciaría es en la complejidad de cada comportamiento. Sin embargo, un reloj digital tiene un funcionamiento complejo y no decimos que tiene “vida”; pero no obstante y pese a todo, la vida es más compleja que el funcionamiento de un reloj.
Si una planta o un microbio no tuvieran un mínimo de voluntad, entonces no entrarían en la definición propuesta como seres “vivos”. Suponiendo que sus comportamientos sólo se rigieran por leyes estocásticas (probabilísticas), no se distinguirían del de un proceso estocástico como puede ser una reacción en cadena, en donde el átomo de Uranio-235 tiende a desprender en cada reacción una media entre 2 y 3 neutrones, aunque puedan ser más o menos tomándolas individualmente.
En una conferencia, el padre Carreira calificó a los animales como “maravillosos robots biológicos”, sin posibilidad de elegir, sólo con instintos (aunque en realidad éstos se consideren como “controlables”); con lo que, bajo nuestra definición de “vida” como voluntad, no estarían vivos. Pero quienes tenemos animales constatamos que tienen su personalidad: piensan y actúan. De todas formas, suponiendo cierto lo dicho por el sacerdote, el Ser Humano bien podría ser producto de la complejidad, bajo la apariencia del libre albedrío. Sin embargo, dudamos, y en consecuencia -como decía Descartes-, existimos; pero, además, la duda sería muestra de la libertad de elección y, por tanto, de “vida”, con lo que los animales la tendrían.
También podría ser que la vida pudiera aparecer como una propiedad extra de los sistemas complejos, fruto de un proceso evolutivo (a partir de cierto nivel de complejidad, un ser comienza a pensar, pudiéndose dar distintos grados; como en un relato de Arthur C. Clarke, en que “una determinada masa crítica de circuitos de conmutación, equiparables a las neuronas de nuestros cerebros” cobra vida cuando excede un cierto nivel el crecimiento exponencial de la red de comunicaciones); que la propia cualidad de la “vida” fuera intrínsecamente diferente en esencia de lo “no vivo” -que es menos complejo-, siendo el todo mayor que la suma de las partes, con lo que seguiría habiendo una “diferencia sustancial” entre lo “vivo” y lo “no vivo”, y seguiría teniendo validez la idea de la vida como voluntad.
Estas notas de Teodicea (también llamada Teología natural o racional, que “es la disciplina que trata de explicar qué es Dios por medio de la razón o el pensamiento“) discurren sobre Dios, Perfección, Moral, Libertad, la naturaleza del castigo y la vía de causalidad propuesta por Tomás de Aquino. Partiendo de conceptos, propuestas y hallazgos filosóficos y teológicos de Padres y Doctores de la Iglesia, escolásticos y otros filósofos, discuto ciertas propiedades de Dios -presuponiéndolas “reveladas”-, entre las que se encuentran su Perfección, suma Bondad, Justicia y Misericordia, que de todas formas deben ser revisadas y, en su caso, rigurosamente tratadas.
Sobre la existencia de Dios
César Vidal resume el argumento ontológico de San Anselmo (el cual expuso en su “Proslogion”) en su libro “El camino hacia la cultura” con estas palabras: “Sostenía este argumento que incluso aquellos que dudaban de la existencia de Dios o la negaban estaban obligados a tener cierta comprensión acerca de lo que dudaban. En otras palabras, mentalmente comprenderían a Dios como un ser del que no se puede pensar algo más grande. Dado que es más grande existir fuera de la mente que sólo en la mente, un escéptico que negara la existencia de Dios estaría incurriendo en una clara contradicción, ya que estaría afirmando que es posible pensar en algo más grande que en un ser del que nada más grande se puede pensar. De ahí que, por definición, Dios exista.” Este razonamiento sobre la existencia de Dios tiene dos objeciones principales, una planteada por Santo Tomás de Aquino, y otra por Kant.
La de Kant se basa en afirmar que la “existencia” no es necesariamente una propiedad positiva o negativa, no pudiendo entrar en el concepto de “aquello mayor que lo cual nada puede ser pensado” de San Anselmo. Pero este concepto implica la omnipotencia, y un ente existente es más potente que uno que no lo es, luego la existencia sí que es para este caso una propiedad positiva, no pudiendo invalidarse el argumento de San Anselmo por esta vía.
La refutación propuesta por Santo Tomás es más convincente, ya que indica que nosotros, como hombres, no podemos imaginar el concepto de “aquello mayor que lo cual nada puede ser pensado”, por lo que los seres humanos, imperfectos y limitados en sabiduría y conocimiento, no podemos usar el argumento ontológico y entenderlo, verlo evidente y considerar probada la existencia de Dios. En cambio, Dios, de existir, sí que puede probar su propia existencia por este argumento, ya que es capaz de imaginar “aquello mayor que lo cual nada puede ser pensado”, puesto que es Él mismo. Sería evidente para Él tanto como para nosotros imaginar un polígono de más de 3 lados, pues es capaz de entenderlo todo. Nosotros, imperfectos, somos incapaces de demostrar su existencia de una forma total, pero eso no quiere decir que exista o deje de existir, porque si Él es capaz de demostrarse a sí mismo, ya quedaría demostrado por el argumento de San Anselmo, el cual sería válido al encontrar a Alguien capaz de ver evidente el concepto axiomático de “aquello mayor que lo cual nada puede ser pensado”. Sólo porque nosotros no podamos entender la demostración no quiere decir que ésta no pueda haberse producido por el propio Dios, al igual que aunque muchos no entiendan difíciles demostraciones matemáticas no quiere decir que no estén demostradas.
El argumento ontológico de San Anselmo, más que una demostración para nosotros, humanos imperfectos, es una tentativa por nuestra parte de llegar a entender cómo es Dios y por qué es así; y nos da una intuición de la “esencia” de Dios y su relación con la propia existencia divina.
Esto implica un acto de Fe necesario: nosotros debemos confiar en lo que nos es Revelado, aunque no demostrado de manera incontestable por razón de nuestro limitado intelecto a la hora de tratar acerca de entes que nos exceden en sabiduría y en espíritu.
Sobre Dios y la Moral
Dios es Perfecto, es Bueno y Justo, y tiene más características, pero, por todas, estas Dios es el referente de Perfección Moral. Su moral, su ética es la correcta y hemos de hacer lo posible por comprenderla y seguirla pese a nuestras imperfecciones. “Sed, pues, perfectos como vuestro Padre celestial es perfecto” (Mt 5, 48). Sin Dios no habría Perfección Moral por no existir un referente único y verdadero, a lo más que podríamos llegar es a diferentes morales según cada individuo, no siendo ninguna más verdadera o acertada que otra.
Sobre Dios y la importancia que da a la Libertad
Al ser Dios suma Bondad, de Él no puede surgir nada contrario al Bien, todo lo más ausencia de Bien, que es lo que llamamos Mal, tal y como afirmaba San Agustín. Cuanto más se aleje alguien de la Perfección que representa Dios, menos Bien tiene en él. A los Hombres nos ha permitido elegir -tener “libre albedrío”- la cantidad de Bien del que queremos imbuirnos, dándonos la Libertad para ello. De ello se desprende la importancia que da Dios a la Libertad, que parte de forma misteriosa de su Perfección.
Dios consiente que escojamos el Mal –la ausencia de Bien– al habernos concedido la Libertad para ello. La Libertad es permitida por Dios incluso pudiendo llevar en ocasiones a elegir el Mal frente al Bien. Siendo Dios Perfecto y Bueno, y viendo la importancia que da a la Libertad, se deduce que permitirla es un aspecto de su Perfección y es correcta a los ojos de Dios. Si bien luego de escoger el Mal nos alejaríamos de Dios, con la infelicidad del alma que comporta distanciarse de lo correcto y Perfecto.
Sobre el castigo
Cuando hacemos el Mal, debemos ser castigados en cuanto a que Dios es Justo. San Anselmo medita sobre la dicotomía de un Dios Justo y Misericordioso a un mismo tiempo en su “Proslogion”, pero aquí no lo trataremos…
Sí que trataremos en qué consiste el Castigo. Dios es Perfecto y Bueno, por lo que cuando nos alejamos de Él dejamos de ser buenos, empezamos a sufrir la ausencia de Bien. Pero cuando los humanos viven en sociedad, éstos tienen que regular su comportamiento castigando las malas acciones. Al ser malas acciones tienen por tanto una cierta medida de ausencia de Bien y por tanto un alejamiento del estado natural en que el Hombre fue creado a imagen de Dios. Los castigos siempre se han basado en infligir una ausencia de Bien, de bienestar: privación de Libertad, de la vida, de un sueldo, etc.
¿Pero por qué infligimos una ausencia de bienestar al castigar? ¿Cuál es la razón última de que haya de haber un castigo en ocasiones? Quizá para hacer reaccionar de esta manera al alma de forma que la reconduzcamos al Bien, pero también puede entenderse como hacer ausentar una parte de Bien del castigado en medida proporcional al Bien que él ha hecho ausentar previamente para lograr una compensación entre ambas ausencias de las que no llegamos a comprender su finalidad total y real.
Sobre la vía de causalidad de Santo Tomás de Aquino
Tomás de Aquino propuso unas vías para la demostración de la existencia de Dios. Una de ellas, la “vía de las causas eficientes”, es la que usa la causalidad que constatamos empíricamente en todos los procesos observados en la Naturaleza y en el Universo. Hay varias críticas a su argumentación.
Una es que implica que haya una cadena de causas finita: si el Universo tiene un comienzo, la cadena de causas es finita porque en el Universo habría un número muy grande, pero limitado, de procesos que se hubieran desarrollado hasta el presente momento tal y como intuimos empíricamente. Debido a la Teoría del “Big Bang”, existe la idea intuitiva –que no demostrada– de que ha habido un comienzo, que puede retrotraernos a la “causa incausada”, mezclándose la Física con la Metafísica. Otra objeción es que Dios no tiene por qué ser la “causa incausada” y ser debida ésta a algo natural pero sin intelecto, pero de existir antes la Nada, algo debe haber producido todo lo que vemos al haberlo imaginado en esencia y plasmado en existencia, pues si no la Nada hubiera seguido siendo Nada –ya que, en principio, de Nada no puede sacarse Algo–, y si algo es capaz de haberlo imaginado, es que hay un intelecto no creado detrás. Luego podemos añadir la idea de la no existencia del “principio de no contradicción” en la Nada para tratar de explicar hipotéticamente la Creación -expuesta en “Dios, completitud e inconsistencia”- y que puede además dar cuenta de parte de la esencia de Dios como hace el argumento ontológico de San Anselmo.
En la ciencia actual se da por válido el “principio de causalidad”, pese a algunas paradojas debidas a la Mecánica Cuántica -por poner un ejemplo-, pero ya David Hume atacó filosóficamente el “principio de causalidad” y el razonamiento por inducción realizado por los científicos como válidos en el campo de la lógica. Por todo ello, la demostración lógica de la existencia de Dios por la “vía de las causas eficientes” no es concluyente.
“La lógica es invencible porque para combatir la lógica es necesario utilizar la lógica”. Pierre Boutroux.
Como a veces he hecho, voy a escribir estas líneas como un juego matemático-filosófico extravagante más parecido al delirante “poema cosmogónico” que es el “Eureka” de Edgar Allan Poe que a un ensayo filosófico al uso -pues muy posiblemente algunos argumentos no serían del agrado de Torkel Franzén-, aunque puedan tener su validez dentro de su enfoque místico.
Existen tres principios básicos del funcionamiento de la lógica aristotélica clásica: el principio de identidad (“todas las cosas son las que son”), el de no contradicción (“no pueden ser ciertos a la vez A y su negación no-A”) y el del tercero excluido (“todo enunciado es o verdadero o no verdadero”). La “lógica multivalente” es aquella que no tiene el principio del tercero excluido entre sus premisas, pues tiene más ‘valores de verdad’ aparte de los de verdadero o falso, como de indeterminado. Pero los dos primeros principios se siguen cumpliendo y los sistemas son consistentes (no se dan contradicciones).
Imaginemos ahora la Nada, antes de una hipotética Creación. No existiría todo lo que conocemos y damos por hecho, por lo que no habría tampoco leyes de la lógica: sería posible la contradicción.
Veamos algunas consecuencias.
Podría decirse que habría “cero entes” en la Nada (dejando de lado que quizá los conceptos mismos de ‘cero’ o de ‘conjunto vacío’ pudieran no tener sentido planteárselos en la Nada) y el cero es igual a cero, afirmación que verificaría el principio de identidad, pese a no tener la obligación de cumplirlo necesariamente como hemos dicho con anterioridad. Pero 0 = 0 sólo sería uno de los resultados posibles porque, al no existir el principio de no contradicción, podríamos escribir la contradicción 0 = 1 y, a partir de ahí, 0 = 1 + 0 = 1 + 1 = 2 y todos los números naturales, luego los enteros y demás, llegando finalmente a poderse estructurar todo un sistema inconsistente matemático (por el momento sólo nos circunscribimos a las matemáticas y la lógica, aunque las leyes del razonamiento lógico afecten a otros campos del conocimiento, como la Ciencia o la Teología Natural, que trataremos más adelante). Sin embargo, todo sería una inmensa indeterminación, ya que se podría demostrar cualquier cosa debido a la contradicción (posible de no existir en la Nada el principio que la impide).
En el interesante y muy aprovechable libro de John D. Barrow, “La trama oculta del universo”, vienen unas excelentes explicaciones -a un nivel accesible- de lógica y matemáticas que usamos en este artículo: las “definiciones” al inicio del presente texto que aclaran y sirven de resumen simplificado de cada uno de los tres principios lógicos aristotélicos y los pequeños párrafos que transcribiremos a continuación, además de la cita de Pierre Boutroux y la del Barón de Montesquieu que aparecerá más adelante. De Gödel dice que “estableció que cualquier sistema lógico lo bastante grande como para contener la aritmética ordinaria era necesariamente incompleto”. Éste es el teorema de la incompletitud de Gödel, pero también hay un teorema que asevera que “el que un sistema sea consistente es completamente equivalente a que algún enunciado dentro del sistema sea inderivable. No es difícil ver que este curioso enunciado es verdadero. En efecto, si el sistema es consistente, entonces no debe ser posible derivar el enunciado que dice que algo es verdadero y que se negación también es verdadera. Por lo tanto, este es un enunciado inderivable. Recíprocamente, si el sistema es inconsistente, entonces, por definición, se puede probar que algún enunciado y su contrario son ambos verdaderos. Si esto es así, puede probarse que un enunciado cualquiera será verdadero. Por lo tanto, no habría enunciados inderivables en un sistema inconsistente”.
El teorema de incompletitud de Gödel lo impide, pero se buscó infructuosamente durante mucho tiempo que “utilizando las reglas de deducción se pudiera demostrar que cualquier fórmula que se pueda formar con los símbolos de la aritmética es o verdadera o falsa. Si es posible una tal omnipotencia matemática, se dice que el sistema lógico es completo“. El teorema de Gödel (que niega la completitud de ciertos sistemas: “nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad”, como viene en la Wikipedia) se sustenta en leyes lógicas como el principio de no contradicción pero, eliminándolo, un sistema lógico puede ser completo a costa de la inconsistencia y, por tanto, no revestiría en principio de interés debido a su indeterminación intrínseca: todo podría demostrarse en el sentido que quisiéramos, “toda fórmula tiene prueba”.
Como hemos visto, la inconsistencia nos lleva a que cualquier enunciado sea verdadero, lo que en el fondo es una indeterminación total que no nos sirve en Ciencia (no nos permitiría concretar nada, ni hacer predicciones de hechos), pero, supuestamente, haría posible todo: si -de existir- Dios es omnipotente o todopoderoso, no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; y nuestro universo podría ser sólo un caso particular con estas tres leyes lógicas restrictivas -y en realidad sólo dos, porque el principio del “tercero excluido” puede no darse en todo ámbito de lo que conocemos- que percibimos mediante nuestro sentido común en el seno de un sistema completo e inconsistente; omnipotente pero indeterminado y regido por un Ser que incluye distintas leyes en este caso particular que es nuestro universo, siendo éste una parte consistente e incompleta dentro de un total inconsistente y completo.
En definitiva, Dios puede contradecirse. Por responder a una cuestión expuesta por Homer Simpson que me propuso un amigo mío: “¿Puede Dios crear una rosquilla tan grande que ni él pueda acabarse?”, pregunta que en realidad es una reformulación de la “paradoja de la omnipotencia”. Claro que sí, pues puede contradecirse al poder ser “completo”: Dios, al ser todopoderoso, omnipotente debería tener una capacidad potencial para crear un sistema completo que contenga a la aritmética; pudiéndolo hacer si es capaz de “manejar” la inconsistencia. “Existe un dicho según el cual si los triángulos concibiesen un dios, lo imaginarían con tres lados”, dijo el Barón de Montesquieu, por lo que, pese a la aparente sorpresa y nuestra dificultad para imaginarlo, no debiera ser vista como inviable o descabellada la idea de un Dios que pueda no estar atado al principio de no contradicción (pero en cambio incluyéndolo en un universo que Él decide crear).
Si en la Nada no existe el principio de no contradicción, todo enunciado es verdadero como dije antes, y cero (la Nada) es, en principio, igual a cualquier cosa. Más que haber la Nada en el comienzo, sería el Caos -¿equivalente a la idea de un Dios o incluido en Él?-, producto de la “inmensa indeterminación” que mencionamos arriba. Un Caos como viene recogido en algunas leyendas o mitos (o incluido en algunas teologías) y hay un Dios que lo ordena todo y así “crea” nuestro universo (en el que se incluyen las tres leyes lógicas aristotélicas).
Quizá las mitologías griega y egipcia no anduvieran erradas al creer en un caos primigenio (que “toma conciencia de sí mismo” en el caso de los egipcios: ver la “Mitología Universal” de Juan B. Bergua) y la Creación sería el ordenamiento de todo; teorías como la del inconsciente colectivo y los arquetipos de Carl Gustav Jung podrían llegar a explicar, como un remedo de “implante” divino en el alma humana, el por qué algunas leyendas tienen a una situación caótica (y su ordenamiento) como Origen de las cosas.
Leyendo el libro “La trama oculta del universo”, del ‘premio Templeton’ John D. Barrow, he encontrado un pasaje relacionado de alguna forma con mi post “Ciencia, Matemáticas y Medida” que por su interés voy a transcribir (la negrita es mía):
<<Bourbaki debe responder también al reto de contestar a la pregunta crucial, planteada aquí por Einstein:
¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano, independiente de la existencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad?
Él ve que el verdadero curso de la obra de los matemáticos es la elucidación de las estructuras básicas de la lógica. Si se exploran éstas en su totalidad englobarán todas las interrelaciones sancionadas por la lógica. El mundo que nos rodea se ve como una realización particular de algunas de estas estructuras para que puedan ser ejemplificadas o modeladas por las interrelaciones concretas de las cosas materiales. Puede dársele la vuelta al hecho de que las estructuras matemáticas formales carezcan de significado: en lugar de mantener que no se aplican a nada, uno puede mantener que se aplican a todas las posibilidades. El universo observado no es sino una de ellas.>>
Para aclarar a quien no lo sepa quién es “Nicolas Bourbaki”, diré que es el pseudónimo colectivo –supuestamente tomando el apellido de un oficial del ejército que destacó en la guerra franco-prusiana– de un grupo de matemáticos franceses surgido a finales de los años 30 del siglo XX que pretendían revisar los fundamentos de las matemáticas dotándolas de un mayor rigor siguiendo un método axiomático. En palabras de Barrow en el libro citado: “Ellos personifican las últimas esperanzas de los formalistas; prevalecen la axiomática, el rigor y la elegancia monótona; los diagramas, los ejemplos y lo particular son evitados en favor de lo abstracto y lo general.” Y es que hay muchas dificultades, enfoques y puntos de vista a la hora de definir las matemáticas y sus fundamentos.
Se considera que hay tres tipos de Ciencia: ciencias formales (lógica y matemáticas), ciencias naturales (aquellas que se valen del “método científico”) y las ciencias sociales (“se ocupan de los aspectos del ser humano” no tratados en las “ciencias naturales”). Las ciencias formales y las naturales han tenido desde siempre una estrecha relación, pero son diferentes. En Matemáticas un término o un conjunto concreto viene dado en sí mismo, sólo se diferencia en la forma de expresarlo, por ejemplo: 1+1=2; pero en las “ciencias naturales” es diferente: no es lo mismo dos masas de un kilogramo, cada una por separado, que una masa de 2 kilos; hay que hacer una labor de ‘interpretación física’ de los resultados numéricos y sus relaciones. Dicho esto, a partir de aquí, en este artículo, llamaré “Ciencia” con mayúsculas sólo a las formales y naturales, pues pretendo establecer una distinción entre éstas y las ciencias sociales, ya que no todas éstas debieran, al menos por el momento, considerarse como “Ciencia pura” según las razones que voy a exponer.
Aquella “ciencia” en que no intervienen relaciones numéricas o lógicas no es en verdad Ciencia. Siempre tomamos como perteneciente al ámbito de la Ciencia aquello que se puede medir de alguna manera y, como dijo un profesor mío, “medir es comparar con la unidad“. La Matemática se vio durante mucho tiempo como la “Ciencia de las Magnitudes”, “que encuentra métodos por medio de los cuales [las magnitudes] pueden ser medidas”, tal y como la consideraba Euler. Ahora se considera simplista esta denominación, ya que en el siglo XIX pasó a denominarse como la “ciencia de las relaciones”, por lo que, pese a diversas precisiones de la matemática moderna (nuevas ideas como las de “variedad” o “conjunto” dejaron atrás por su vaguedad a la idea de “magnitud”; conviene consultar para ver algo de este proceso histórico la introducción del libro “Riemanniana Selecta” editado y anotado por José Ferreirós). Para resumir y simplificando trataremos a las Matemáticas como la “ciencia de las magnitudes y las relaciones entre ellas”. Diferentes relaciones entre magnitudes de distinto tipo se han expresado mediante las matemáticas, siendo una ‘magnitud’ “todo lo que es susceptible de incremento o disminución”, según decía Euler. Al realizar la “medida” de algo, le asignamos una magnitud o magnitudes, por lo que es de esperar que la Ciencia venga dada por leyes con base matemática. Si la Ciencia trata todo aquello que se puede medir y las matemáticas la forma de relacionar magnitudes, no debe sorprender que las medidas de magnitudes y sus relaciones se expresen de forma matemática.
La Ciencia va a sustentarse en modelos matemático-lógicos (o formales) siempre. Incluso cuando tenemos procesos aparentemente no deterministas -como la Mecánica Cuántica- hacemos medidas en un determinado número de experimentos para ver si se cumplen unas probabilidades definidas matemáticamente.
Con esto espero disipar la actitud de sorpresa de algunos frente a la Ciencia debido a que se describa usando leyes matemáticas. Es claro que deba ser así, pues así se deduce de las definiciones que damos; otra cosa es plantearse el fondo filosófico, el por qué el universo se comporta de forma lógica y podemos medir y relacionar tantos procesos. De todas formas, pudiera haber procesos que no podamos medir bien y, por tanto, no los englobemos aún como Ciencia aunque también puedan ser reales. Un ejemplo pueden ser Ciencias Sociales como la Psicología, que pese a los avances a la hora de tratar de medir ciertos aspectos, aún no es en su totalidad una ciencia pura según los cánones que he expuesto, al no poderse medir con suficiente precisión (por no mencionar algunas áreas de la Psicología que ni siquiera se consideran falsables). Sin embargo, se usan algunas técnicas y éstas funcionan, por lo que son reales muchas de sus descripciones. En cambio, muchas áreas de Ciencias Naturales como la Biología tienen su tratamiento matemático y ‘capacidad de predicción a partir de condiciones dadas’ -esto último entronca con las “ciencias formales”, pues hay “causa-efecto” entre fenómenos, lo cual entra en el ámbito del estudio lógico-, aspectos básicos para que una ciencia sea Ciencia (pese a las lagunas que siempre pueden existir). Recordemos la posición de Kant respecto a la Química, pues la consideraba un “arte sistemática” en lugar de “Ciencia”, pero una vez ésta empezó a tratarse de forma más rigurosa y predecible con Lavoisier, pasó a adquirir la categoría de Ciencia. Esto no quiere decir que partes de las Ciencias Sociales no tengan un tratamiento científico bastante riguroso -como, por ejemplo, en la Economía e incluso en la propia Psicología- y, puedan, por tanto, casi considerarse como “Ciencia con mayúsculas”. Con todo esto, cabe añadir además que la frontera entre las “Ciencias Naturales y Formales” y las “Ciencias Sociales”, o entre “Ciencia” y “Artes Sistemáticas”, es más bien difusa, por lo que debemos finalmente aceptar que todas estas materias son realmente “Ciencia” -tengamos en cuenta que la palabra viene del latín “scientia”, “conocimiento”-, pero con diferentes gradaciones de formalismo.
Mucho de lo que ahora no podemos denominar como Ciencia bajo un enfoque estricto puede deberse sólo a la complejidad de la materia de la que se ocupa, pero con herramientas más potentes podremos, en un futuro, tratar de forma absolutamente científica aspectos que ahora sólo se ven como un “arte sistemática”, como hizo Lavoisier con la Química. Ésta es y será una labor apasionante; miremos al futuro con optimismo y tengamos confianza en el progreso, capacidad, inventiva, tenacidad y curiosidad innata del espíritu humano en su incesante busca del Saber y el Conocimiento.
Supongamos que el segundo principio de la termodinámica -enunciado por Clausius y equivalente al de Lord Kelvin- se cumpla siempre (que quizá sea mucho suponer, o no, el tiempo lo dirá). Éste consiste en afirmar que la entropía del Universo -supuesto aislado termodinámicamente- sólo puede permanecer constante o aumentar con el tiempo. La entropía es una medida de la uniformidad con que se distribuye la energía, de forma que “mide la parte de energía que no puede utilizarse para producir trabajo”. Cuando la uniformidad sea total, la entropía será máxima.
La validez de este principio en toda situación nos llevaría a una consecuencia inevitable y sombría: el universo que conocemos está abocado a una muerte térmica, en que no haya ni diferencias de temperatura, ni gradientes de energía… ni cambios. Un universo ciertamente aburrido.
Si esto resulta finalmente cierto –aunque hay dudas sobre ello–, tendríamos necesariamente dos planteamientos posibles a la hora de afrontar el sentido de la Vida: una visión sin trascendencia, que recordaría al “Carpe Diem”, y otra en que algún Ser Supremo o algo más allá de lo tangible y lejos del alcance de nuestros sentidos dé trascendencia a la Vida.
Si todo estuviera destinado a acabar en una muerte térmica y no hubiera algo más allá, cualquier acto que hiciéramos tendría sentido mientras fuera recordado, pero no después. Al final de todo nada habría importado y la Ética, lo bueno y lo malo, carecería de sentido en último término. Quizá el Hombre tenga en su interior, o en un hipotético inconsciente colectivo, un sentido moral que le induzca a considerar lo correcto e incorrecto mientras dure su vida –otra cosa es que a veces decida saltárselo–, pero después no quedaría nada; sería vivir el momento, ‘carpe diem’, pero nada más.
En cambio, si hubiera algo más –podríamos llamarlo Dios– que dotara de trascendencia a todo lo que hacemos, bueno o malo, también dotaría de sentido a nuestra vida. Un sentido en base a los criterios de ese Algo, pero al menos nuestros actos no morirían con nosotros. Ya no nos preocuparía que pudiera no existir un sentido de la Vida como se da en el supuesto anterior.
Obviamente, esto no puede servir como demostración a la existencia de Dios, ya que el segundo principio de la termodinámica puede que no se cumpla siempre, o porque la Vida no tenga sentido. ¿Pero no creen que esto último sería desconsolador?
“¿UNA NUEVA DIMENSION TEMPORAL?”
Ángel Rey Gallego
Puede sonar extraño hablar de nuevas dimensiones temporales, pero se están considerando en diversas teorías exóticas como la del “hipertiempo”. Me gustaría hacer una pequeña reflexión filosófica sobre un nuevo concepto de tiempo y una posible consecuencia que tendrían los viajes en el tiempo, que podrían dar lugar a otra dimensión temporal aparte de la habitual.
Representamos el “espacio-tiempo” como una superficie con el “eje y” correspondiendo al tiempo y el “eje x” a las tres dimensiones del espacio (de forma análoga a los “diagramas de Minkowski” en que el tiempo se representa en el “eje y” y el espacio total a lo largo del “eje x”, siendo los puntos del diagrama los “sucesos”). Quedaría el “eje z” para la idea que me dispongo a proponer: un “tiempo prima t’” en cierta forma “perpendicular” a nuestro tiempo habitual u ordinario, el “tiempo convencional t”.
Suponiendo que sean posibles los viajes en el tiempo (como saltos de un instante a otro separados entre sí, no nuestro desplazamiento habitual a la velocidad de un segundo por segundo pasando por todos los instantes de forma continua), el sistema debería ser coherente consigo mismo, por lo que no debería haber lugar a paradojas. Una forma propuesta sería la creación o generación de universos paralelos.
Estos universos no tendrían por qué suponer la destrucción del universo original o primigenio, puesto que si algo ha existido es de suponer que su concepto exista de alguna forma en algún momento y/o lugar, ya que si no, no habría existido nunca (de igual forma que para nosotros los sucesos ocurridos en el pasado los situamos en algún punto de un eje de coordenadas temporales que hemos fijado).
Pongamos por ejemplo la famosa “paradoja del abuelo”: un viajero se dirige hacia atrás en el tiempo, encuentra a su abuelo cuando era joven, tiene una fuerte discusión con él y lo mata; nuestro viajero en el tiempo ya no podría nacer, con lo que habría generado un universo. Un nuevo universo dependiente del original en tanto en cuanto que sin éste nunca habría existido al ser el lugar de procedencia del viajero en el tiempo.
Suponemos también que sigue siendo válido el “principio de causalidad”, pero redefinido en torno a esta idea de “tiempo prima” que pretendo exponer.
En la “gráfica 1” representamos el “plano π”, el espacio-tiempo primigenio de origen del viajero en el tiempo, que parte de “A” y llega a “B” de un salto, donde crea otro espacio-tiempo, el “plano σ”, en el que mata a su abuelo.
En adelante, para aclarar la imagen, eliminamos en “eje x” de dimensiones espaciales y pasamos a hablar de “líneas de universos paralelos”.
En la “gráfica 2” vemos la idea simplificada. Obviamente existe un antes y un después del asesinato del abuelo, una causa y un efecto, pero no en un sentido convencional, sino, por decirlo de alguna manera, en dirección “ortogonal” al tiempo convencional t. Como consecuencia, el tiempo prima t’ daría cuenta de los cambios en los diferentes espacio-tiempos, permitiendo pervivir al universo original (“línea π”) para eliminar la paradoja del abuelo y similares. El tiempo se define como la “duración de las cosas sujetas a mudanza” o la “medida de esta duración”, en definitiva, una medida del cambio, con lo que es razonable llamar t’ a la línea de desarrollo de los acontecimientos cambiantes que no se producen en la dirección del tiempo convencional t.
Es posible que el viajero en el tiempo no pudiera volver a la “línea π”, pero eso no impediría que hubiera existido (y quizás siga existiendo y no se destruya con el asesinato del abuelo) en algún momento a lo largo de t’.
Se podría especular que la física cuántica podría dar lugar a múltiples líneas de t’ para dar cuenta de todas las posibilidades de estados cuánticos (recuérdese la función de onda del “gato de Schrödinger“), con lo que podrían aumentar aún más las 5 dimensiones aquí expuestas: las 3 espaciales y las 2 temporales.
También cabe añadir una pequeña reflexión respecto a nuestro universo: ¿pertenecemos al universo original, virgen de cambio alguno en t’; es decir, el t’ = 0? Pensar esto puede ser un tanto pretencioso por nuestra parte o, en caso de ser cierto, un atisbo de la imposibilidad de viajar dando saltos en el tiempo; no olvidando que el viaje a velocidades cercanas a la luz no sería un viaje en el tiempo a través de un “salto” de un instante a otro porque este viajero tendría su tiempo propio, pero circularía en un mismo continuo temporal (suponiendo que el tiempo no esté cuantizado).
Todas estas reflexiones, al ir más allá del mundo experimental, son más metafísica que física, entroncando más en la filosofía que en la investigación científica, quedando de momento nada más que como un divertimento intelectual.
Isaac Asimov, en la pregunta diez de su libro “Cien preguntas básicas sobre la ciencia”, especuló sobre una posible explicación del por qué surgió el universo de la nada. Básicamente proponía la existencia de unas energías positiva y negativa que sumadas resultarían cero, y que de la nada –cero– podría salir nuestro universo (llamémosle positivo) y otro de igual cantidad sólo que negativo: “0 = (+1) + (-1)”, como materia y antimateria.
Pero vayamos un poco más allá.
Antes, permítaseme en adelante la incorrecta expresión, pero popular, de la doble negación “no hay nada” para explicar el que “hay nada”. ¿Tiene el cero validez cuando no hay nada? La Nada, pensándolo de forma absoluta, es no tener ni siquiera la noción de la inexistencia. Cuando no hay nada, no puede haber cero cosas; simplemente no tiene sentido plantearlo. El cero tiene sentido sólo cuando puede ser comparado con las demás cantidades, cuando existe la posibilidad de que haya algo y no lo hay. Mucho menos se puede plantear una operación matemática en la Nada.
Santo Tomás de Aquino presentó sus cinco vías para la demostración de la existencia de Dios, entre ellas su “vía de las causas eficientes” usando el principio de causalidad. En base al argumento de Asimov podría haber quien invalide su demostración, demostrando que se puede crear algo de la Nada. Pero, si como digo arriba, cuando estamos en la Nada no tiene sentido el propio símbolo cero, habría que tener en cuenta que hay Alguien que ha de imaginar esa operación matemática, y realizarla. Este Alguien sería, de nuevo como parece demostrar Santo Tomás, la razón última a la que llamaríamos Dios.
Edward Lorenz ideó un modelo simplificado de la convección atmosférica con un programa informático que, mediante unos sistemas de ecuaciones a partir de unas condiciones iniciales dadas, le permitiera predecir su comportamiento a lo largo del tiempo. En 1963 descubrió lo que ahora se conoce como el “efecto mariposa”.
Tras realizar una simulación con su ordenador, decidió repetirla de nuevo prolongando el periodo de tiempo a considerar, sólo que tomando unos valores intermedios de su cálculo anterior. Cuando vio la gráfica de los resultados del segundo cálculo y la comparó con la del primero, observó que al principio se ajustaban entre sí, para irse separando según transcurría el tiempo. Conforme se iba avanzando, las gráficas se desajustaban más y más, hasta llegar a no tener concordancia alguna.
En un primer momento no supo a qué atribuirlo, hasta que por fin detectó el “fallo”: al introducir en el ordenador los valores intermedios del experimento anterior, había redondeado las cifras. Puesto que el error era de una milésima parte pensó que no tendría importancia, pero resultó que cualquier mínima variación en los datos hacía que las gráficas divergieran, más aún cuanto más tiempo pasaba. El error producto de la aproximación dada crecía más y más. Al introducir en el sistema de ecuaciones dos valores iniciales muy parecidos, aunque distintos, se producían gráficas completamente diferentes. Esto le llevó a conjeturar que una predicción del clima podría errar totalmente debido a no tener en cuenta el aleteo de una mariposa. Sólo ese batir de alas podría llegar a provocar un huracán semanas después.
La meteorología fue uno de los campos donde más claramente se vislumbró lo que se llamaría “teoría del caos”: a partir de ecuaciones deterministas, perfectamente reproducibles, con pequeñas variaciones de los datos introducidos, salían resultados que variaban irregularmente, de forma aparentemente aleatoria. Si nuestros sistemas de medida y ordenadores fueran absolutamente precisos y pudieran tener en cuenta cualquier variable, podríamos obtener predicciones exactas a largo plazo, pero esto no es posible materialmente, siendo caóticas en la práctica.
De ahí que sean risibles ciertas afirmaciones de algunos ecologistas sobre el cambio climático. Si apenas podemos predecir el tiempo atmosférico a más de unos pocos días vista, ¿cómo vamos a hacerlo certera y tajantemente de cara a las próximas décadas? ¿Cómo podemos afirmar tan rotundamente que en la primera mitad del siglo XXI va a subir la temperatura media tal o cual cantidad? Es cierto que hay modelos que tratan, en lo posible, de predecir el clima a largo plazo, pero el poco respeto que tienen algunos ecologistas hacia la ciencia es vergonzoso e inquietante.
Ahora bien, ¿es un peligro real el cambio climático que tanto denuncia el pintoresco profeta Al Gore o es sólo producto de ciclos naturales? Hay quien los achaca al Sol, no siendo así consecuencia de las actividades del ser humano. Unos y otros pueden estar o no en lo cierto, pero al menos tiene que haber una investigación científica seria y rigurosa, no prejuicios que den lugar a unos “experimentos” con sus resultados prefijados. De todas formas, ahí están libros y artículos de hace treinta años que anunciaban una glaciación inminente; es posible que Al Gore pase a engrosar estas listas de agoreros.
Y otra pregunta más, ¿cuál se supone que es la temperatura media óptima para nuestro querido planeta Tierra?
Nota: La ilustración es del gran dibujante y amigo Fonseca. Recomiendo además ver el documental “El gran fraude del calentamiento global“.
“La energía nuclear es una de las energías más seguras y menos contaminantes”. Habrá quien se sorprenda de esta afirmación, pero es compartida por muchos científicos e ingenieros, y explicaré brevemente algunas de las razones:
- La energía nuclear es la que tiene menos tasa de muertos en accidente por terawatio año (“mil millones de watios usados de forma continuada durante un año”) de electricidad producida de 1970 a 1992 (en concreto, ocho muertos por Tw año, frente a los 85 del gas natural, los 342 de carbón o los 883 de la hidroeléctrica); una estadística un tanto macabra del “Instituto Paul Scherrer” de Suiza, pero que muestra perfectamente, de forma objetiva, un dato relevante para evaluar su seguridad.
- Los residuos radioactivos son, en efecto, un problema, pero hay que recordar que se van “apagando”, bajando continuamente la radioactividad con el tiempo según su “periodo de semidesintegración”. Por ello, basta con gestionarlos de manera segura durante ese largo tiempo, ciertamente muy elevado; pero sabiendo que el volumen de residuos radioactivos es varios miles de veces menor respecto a los de tipo urbano o industrial, son relativamente fáciles de confinar comparado con ellos. En cambio, las centrales térmicas, por ejemplo, generan CO2 y demás residuos que son lanzados a la atmósfera, pero cuando un residuo no llega al medio ambiente no puede considerarse contaminación, entonces ¿cómo hay quien puede llamar contaminación a los residuos nucleares siempre que estén debidamente confinados?
- Hablemos ahora de Chernobyl, la mayor catástrofe nuclear de la historia, y pongámosla en su justa medida sin distorsiones interesadas. Según informes de la ONU y diversos organismos (no testimonios de políticos, activistas o revistas de divulgación científica que no argumentan sus afirmaciones, más bien dogmas), en el accidente de Chernobyl murieron directamente 31 personas, y se estiman unas 4000 más a lo largo del tiempo debido a cánceres, etc. Hay quienes utilizan esta catástrofe para tratar de prohibir la energía nuclear, sin embargo, en este último par de años han muerto en las carreteras españolas 5756 personas (año 2006: 3015 fallecidos; 2007: 2741; cifras afortunadamente en descenso), y esto sólo en un país… ¿Es esto motivo para prohibir los coches? El miedo a la energía nuclear es similar al miedo a viajar en avión pese a que es más seguro que viajar en coche.
No hay que olvidar tampoco que la central nuclear de Chernobyl tenía un diseño soviético no “intrínsecamente seguro” como los actuales que usamos en occidente que los hace fiables. ¿Qué significa “intrínsecamente seguros”? Son reactores que están diseñados de tal forma que, por las propias leyes de la física, se autoestabilizarían las reacciones en caso de accidente. A título de curiosidad, menciono un ejemplo innovador de esta idea, el “amplificador de energía” propuesto por Carlo Rubbia consistente en combinar un reactor nuclear con un acelerador de partículas, con Torio como combustible.
Esto sólo son unos pocos argumentos con los que pretendo desmitificar algo la energía nuclear. Se puede hablar mucho más de este tema, como por ejemplo las inmensas dificultades de mantener nuestro crecimiento energético y demográfico sin energía nuclear. Para mayor información es interesante consultar a la asociación “Jóvenes Nucleares”.
Espero que argumentos como éstos hagan replantear algunas cosas a gente que sólo ha tenido ocasión de escuchar falsedades a ciertas organizaciones ecologistas (no todas, puesto que hay bastantes que empiezan a defender el uso de la energía nuclear).
En mi blog anterior seleccioné unas palabras de Vidal-Quadras de su ensayo “La Derecha: Un intento de destilación axiológica” que muestran las bondades de uno de los aspectos que defiende el liberalismo económico. Es una brillante analogía entre física y economía que el mayor número posible de gente debería leer; por ello repito de nuevo aquí, en mi nuevo blog, el argumento, sirviendo de paso como una buena forma de ilustrar parte de mi forma de pensar. Es un extracto en el que podemos ver como la desigualdad bien entendida –pues ha de haber igualdad de oportunidades e igualdad ante la Ley, pero no se debe forzar una injusta igualdad de resultados– puede derivar en un “elemento dinamizador de la economía”:
“Una analogía extraída de la Física ilustra perfectamente los argumentos de la derecha en favor de la desigualdad como elemento dinamizador de la economía. Es bien sabido que en el caso de que una fuerza derive de un potencial, para que se produzca trabajo mecánico el potencial no puede ser constante y han de existir diferencias entre los distintos puntos. En un salto de agua hay energía aprovechable por la diferencia de potencial gravitatorio entre el nivel más alto y el más bajo, y entre las placas de un condensador salta una descarga cuando la diferencia de potencial eléctrico entre ellas es lo suficientemente elevada. De acuerdo con la concepción de la derecha, algo parecido sucede en la generación de riqueza en sociedades humanas. La imposición de un uniformismo igualitario en propiedad y en renta resulta, tal como muchos casos concretos han demostrado ampliamente, esterilizante y empobrecedor para el conjunto al desaparecer el incentivo que introduce un grado razonable y no ofensivo de desigualdad. La derecha se ha apoyado permanentemente en este enfoque para promover la libertad de mercado, la desregulación y la iniciativa empresarial, y para garantizar los derechos de propiedad privada y de herencia.”
Nota: Pongo aquí, para quien lo quiera ver, el link de mi blog anterior, alojado en la web de “Nuevas Generaciones del Partido Popular de Valladolid”:
http://nnggvalladolid.es/modules/popnupblog/index.php?param=2
Como véis, no hay muchos posts, pero en esta nueva etapa bloguera pretendo escribir con mayor asiduidad.
