23
Mar
09

Poincaré, números naturales y el principio de inducción completa

port-poincare1 En “Poincaré. Matemático visionario, politécnico escéptico” de Javier de Lorenzo (Ed. Nivola) se pueden leer estas líneas (la negrita es mía) que marcan la importancia que daba el famoso matemático francés a los números naturales y al principio de inducción completa:

“… Poincaré encuentra que el número natural es la expresión de un rasgo humano básico: expresa la capacidad de reiterar una acción desde que la misma es posible. Lo que se tiene es la posibilidad de un acto, de una operación, y esa posibilidad se actualiza en cada ocasión. Si se tiene el número a, se tendrá la posibilidad de actualizar una operación, la de sucesor o uno más, y así obtener el número a + 1. Ello supone un acto, una operación que implica un reiteración uniforme, estable y que carece de límite alguno. (…)

… La posibilidad de la reiteración no origina tan solo la sucesión ordinal de los números naturales sino que, como manifestación de la capacidad de reiterar un acto (en este caso, el uno más) desde que este acto se hace posible, da paso a la inducción completa. Es la inducción completa el razonamiento propio demostrativo que también subyace a este acto reiterativo, reflejo de esa capacidad intrínseca de la razón humana. (…)

Las definiciones por recursión y la demostración por inducción completa se plasman lingüísticamente en juicios que, para Poincaré, son sintéticos a priori. Por ello el pensamiento matemático es autónomo, irreducible tanto a la lógica como a la experiencia.

(…)

El principio de inducción completa, irreducible tanto al principio de contradicción como a la experiencia, constituye una de las plasmaciones de la potencia del espíritu que se sabe capaz de concebir la repetición de un mismo acto desde que este acto es posible y constituye el razonamiento matemático por excelencia.”

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