Dios, completitud e infinitud

Kurt Gödel es famoso por sus aportaciones revolucionarias a la lógica matemática (como curiosidad cabe mencionar que llegó a formalizar lógicamente el argumento ontológico de San Anselmo). Douglas R. Hofstadter, en su famoso y «gran» libro -en todos los sentidos- «Gödel, Escher, Bach», resume en una corta frase la aportación más destacada de Gödel:

«Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles«.

Este es el llamado «teorema de incompletitud de Gödel« que lleva a afirmar que no pueden existir ‘sistemas lógico–matemáticos completos‘, «que permitan definir los números naturales como un conjunto« (tal y como se precisa en la Wikipedia), fundamentados en un ‘sistema axiomático finito’ sin que sean a su vez inconsistentes -con lo que, tomando por válido el principio de explosión, se deduciría cualquier cosa-. Es decir, para que un sistema lógico-matemático sea «completo» (que no contiene afirmaciones que ni se pueden demostrar ni refutar) sin ser inconsistente debería tener infinitos axiomas; y además, para poderse aplicar el teorema de Gödel, debería ser un sistema en el que haya algún procedimiento efectivo que decide si una cierta declaración es un axioma (como explica en un artículo Eduardo Piza Volio, un «procedimiento efectivo» es una lista de instrucciones o un algoritmo que no requiera de ninguna ingeniosidad para ser ejecutado). Esto es imposible para el ser humano, pues es finito, pero no sería así para un supuesto ser todopoderoso: Dios. Un Ser al que, en principio, los humanos no podemos demostrar ni refutar de forma concluyente (siendo su existencia para nosotros, aparentemente, una «proposición indecidible«, con lo que nuestra lógica y conocimiento no sería completo).

Dios -si existe- debería ser capaz de construir un sistema lógico-matemático completo. En mi post «Dios, completitud e inconsistencia», proponía que Dios, al construir este sistema, debería ser capaz de contradecirse, de manejar la inconsistencia en virtud de su omnipotencia. Además, afirmo que si -de existir- Dios es omnipotente o todopoderoso, no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; de hecho, se podría decir que Dios «crearía» las leyes de la lógica. Pero ahora bien, también podría construir un sistema completo mediante un número infinito de axiomas, lo que implicaría la «infinitud» de Dios (esto recuerda al Dios y el Infinito Absoluto del que habla Georg Cantor ). Resumiendo: si Dios es completo, debe ser infinito y/o inconsistente.