Archive for the 'Ciencia' Category

13
Feb
17

Erwin Schrödinger: “El cero es el único número con una especie de carta de privilegio Real”

erwin En “La estructura del espacio-tiempo” (Ed. Alianza Universidad, Madrid, 1992; pp. 44-45) Erwin Schrödinger hace una inspirada reflexión sobre el número cero (las negritas son mías):

El número más importante en matemáticas es el cero. Nuestro signo actual, así como la palabra cero, procede de los árabes. (Entre paréntesis, es etimológicamente la misma que la palabra cipher inglesa, chiffre francesa, Ziffer alemana, cifra española, las cuales, no obstante, han adquirido un significado diferente.) Pero la noción es antigua, surgió en las matemáticas babilónicas poco después del año 1000 a. de J.C. y puede haber procedido de la India. Permítanme que por un momento me explaye en la importancia de este concepto. Muchísimas de nuestras proposiciones y afirmaciones en matemáticas toman la forma de una ecuación. El enunciado esencial de una ecuación es siempre éste: que un cierto número es cero. El cero es el único número con una especie de carta de privilegio Real. Mientras que con cualquier otro número puede ejecutarse cualquiera de las operaciones elementales, está prohibido dividir por cero; así como, por ejemplo, en muchos parlamentos puede discutirse de cualquier tema, sólo se excluye la persona del soberano. Si ustedes dividen por cero, normalmente el resultado sería absurdo. Tienen que pensarlo a cada momento; siempre que dividan debe satisfacerse el que el divisor no sea de «sangre real», que no sea cero. Otra consecuencia es que la sangre real no puede obtenerse de otra manera que a partir de sangre real (mediante la multiplicación). Un producto no puede anularse a menos que uno de sus factores sea nulo. No es accidental el que la mayoría de las veces la conclusión de una prueba discurra así: AB=0, B≠0, A=0.”

El libro es muy técnico, pero este párrafo que destaco es asequible y se presta a su uso en divulgación.

01
Nov
10

“Caracterización de Sales Precipitadas a partir de Aguas de la Red Hidrológica de la Provincia de Valladolid” (Revista MACLA, nº13)

El pasado mes de septiembre (2010), en la Revista MACLA, se publicó el artículo “Caracterización de Sales Precipitadas a partir de Aguas de la Red Hidrológica de la Provincia de Valladolid” (Revista MACLA, nº13), del que soy coautor. Fernando Rull y Jesús Medina son los profesores que dirigieron la investigación. Fue presentada en la “XXX Reunión de la Sociedad Española de Mineralogía – Workshop on Biominerals and Biomineralization Processes”.

04
Jul
10

Sobre las diferentes gradaciones posibles de la potencia de Dios

Para la asignatura de Teodicea que cursé este año con Sixto Castro tuve que realizar un trabajo que reproduzco aquí. Antes de que vengan las críticas y las quejas (“¡No es falsable!”, etc. etc.) quiero aclarar que, aunque pueda usar conceptos extraídos de la Ciencia, soy consciente de que no se puede considerar “Ciencia” en el sentido estricto al no ser para nada “popperiano”, pero creo que como ejercicio intelectual podría tener algo de valor. He aquí:

“Sobre las diferentes gradaciones posibles de la potencia de Dios”

Ángel Rey Gallego

Introducción

En principio usaremos los términos en un sentido tomista[1], pues será, por así decirlo, la base intuitiva que nos daremos para comenzar[2], aunque vayamos a ser flexibles. Posteriormente, durante el desarrollo, nos iremos alejando de la terminología habitual siempre que sea necesario para expresar los distintos conceptos.

Tendremos unas premisas fundamentales de las que partiremos: 1) Dios existe y 2) es de algún modo ilimitado o infinito en su poder; sirva esto como piedra angular de todo el artículo. Esa “infinitud” puede dar lugar a paradojas o contradicciones que intentaré resolver (en un primer momento) o admitir intelectualmente (en el último caso) a lo largo del artículo. Para ello indicaré si se necesitan introducir nuevas premisas.

La forma de análisis que se va a realizar es lógico-deductiva: partimos de distintas premisas como axiomas y vamos derivando las consecuencias que se extraigan (por ello no debe extrañar que se aparte de una visión empirista -aunque sí se tenga en cuenta a la hora de postular premisas como la del libre albedrío-, ya que es totalmente intencionado en este estilo de análisis). Es decir, salvo error u omisión en los argumentos, las conclusiones son una tautología[3], pero su veracidad final depende de que los axiomas y premisas, en principio indemostrables, sean ciertos.

Las conclusiones serán válidas para cada premisa secundaria, pues consideraremos tres casos posibles. No podemos aplicar indistintamente las conclusiones de un caso a otro.

Usaremos también ideas de Kurt Gödel[4], que bastarán con una somera comprensión conceptual de lo que nos ilustran, no matemáticamente estricta (ya que sería muy complejo). No seremos en exceso rigurosos, pues nos interesa el componente cualitativo.

Tres niveles posibles de la “potencia” de Dios

Podría graduarse el poder o “potencia” de Dios en tres niveles[5], en todos “infinito” pero de diferentes clases, aunque para ello habría que redefinir los términos usados a cómo se utilizan normalmente:

1.- Omnipotente: Sería un Dios con un poder infinito en cuanto a la hora de realizar acciones y prever el resultado de las mismas, pero una vez realizada una no puede volver atrás.

2.- Omniactuante: Dios puede intervenir en cualquier momento del tiempo y del espacio, pero no puede vulnerar las dos leyes más fundamentales de la lógica (el principio de identidad y el de no contradicción).

3.- Todopoderoso: Es el Dios que puede realizar cualquier cosa, incluso que no hayan ocurrido cosas que ya han ocurrido, o contradecirse.

Dios Omnipotente

Dios podría tener un poder infinito para realizar acciones y prever el resultado de las mismas, pero sin poder volver atrás. Parecido a un tablero de ajedrez, donde puedes ir, por así decirlo, “hacia adelante, pero no hacia atrás”. Puede realizar cualquier acción, pero no hacer desaparecer de la existencia lo que ha ocurrido o decisiones que ya ha tomado. En definitiva, Dios no puede “viajar en el tiempo”.

Si Dios tuviera este tipo de poder “limitado”, podría ser “omnipotente” evitando todas las contradicciones que surgen al utilizar este tipo de conceptos. Esto es así porque redefinimos el uso habitual de la palabra omnipotencia y la distinguimos de un Dios “omniactuante” (que veremos en el siguiente punto). ¿Cómo? Mediante la distinción entre Potencia y Acto que describió Aristóteles. Potencia, lo que puede llegar a ser; Acto, lo que verdaderamente llega a ser[6].

Así pues, en este caso, Dios es omnisciente en virtud de su omnipotencia, y puede adivinar todas las consecuencias de cada una de las decisiones que tome él y que puedan tomar las personas o animales; además de prever todo lo que venga regido por las leyes naturales[7]. Tiene, por así decirlo, una visión global de todas las ramificaciones posibles del árbol de decisiones a las que se puede optar, y escoge lo que cree óptimo, pero no puede volver hacia atrás para cambiar las cosas. Un Dios omnipotente se ve afectado por el transcurrir del tiempo, renunciando a actos potenciales por cada decisión que toma, como en el transcurso de una partida de ajedrez.

Este es el caso más sencillo de los tres, y con el que se resolverían paradojas de la omnipotencia que involucren de alguna manera el concepto de tiempo como “medida del cambio”. Ya sea como medida del cambio en el universo que Él ha creado, o como medida del cambio de las decisiones que el propio Dios toma en un “mundo divino” previo o coexistente en el que pudiera habitar (cada decisión que toma hace que pase el tiempo para Dios).

Dios Omniactuante

Dios tendría aquí poder para intervenir en cualquier momento del tiempo y del espacio, como si el universo estuviera formado por una estructura cuatridimensional que pudiera “moldear”. No obstante, en esta opción Dios tiene una limitación: no puede vulnerar las dos leyes más fundamentales de la lógica (el principio de identidad y el de no contradicción, dos caras de una misma moneda; el principio del tercero excluso sí, ya que se pueden desarrollar sistemas que no lo cumplan –lógicas multivalentes, etc.– y son perfectamente libres de contradicción[8]).

No obstante, debido a que es un hecho demasiado evidente que tiene su influencia fundamental en el tratamiento de estas ideas, tenemos que introducir aquí la premisa del libre albedrío del Hombre dado por Dios, y que entraría en colisión con esa absoluta libertad divina de disponer del universo cuatridimensional y modificarlo en cualquier momento.

Libre albedrío y necesidad del tiempo

En este apartado se defiende la necesidad del tiempo para poder ejercer el libre albedrío, usando ideas de Einstein y de Gödel para ello.

Gödel en su artículo[9] “Algunas observaciones acerca de la relación entre la teoría de la relatividad y la filosofía idealista”[10] hace unas reflexiones interesantes acerca de la naturaleza del tiempo. Usando las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General da cuenta de un universo, el “universo de Gödel”, y demuestra la inexistencia del tiempo. Su principal argumento para ello consiste en afirmar que si es posible el viaje en el tiempo, aunque sea sólo de una forma teórica, entonces el tiempo no tiene sentido: no existe[11]. El tiempo que describirían las ecuaciones de Einstein sería un tiempo como una cuarta dimensión “espacial”, no el tiempo intuitivo en que siempre pensamos.

Esta idea haría del universo una macroestructura de cuatro dimensiones espaciales[12], sin tiempo intuitivo como medida del cambio[13], sino como una dimensión espacial más. Nosotros seríamos seres instantáneos que vamos desarrollándonos en una cuarta dimensión más que no captamos por completo (sólo recordando el pasado, si bien no percibiéndolo; o intuyendo el futuro). No se puede ver la línea temporal de forma completa, puede que debido a una subjetiva característica perceptiva nuestra, pero eso no quiere decir que el universo no pueda conformarse en la macroesctructura que se plantea.

Por tomar un ejemplo de la ficción, en el cómic “Watchmen” (Alan Moore y Dave Gibbons), un personaje, el Doctor Manhattan[14], tiene una percepción del tiempo como un todo, prefijado y predeterminado. También, en el primer relato que escribió Robert A. Heinlein, “La línea de la vida”, un inventor consigue averiguar la duración de la vida humana[15] y toma el cuerpo presente de cada persona como una “sección transversal” de la línea de vida (de tiempo) completa.

Pero esta idea del tiempo como algo predeterminado y como una dimensión más englobada en el “espacio-tiempo” de cuatro dimensiones (en una estructura puramente geométrica; sin factores dinámicos, sin cambio), atenta gravemente contra la idea del libre albedrío. Si todo está prefijado, no podría existir. Sin tiempo[16], no existe el libre albedrío.

Una macroestructura geométrica sin tiempo como medida del cambio no permite la existencia del libre albedrío, ya que su fundamento es poder elegir lo que se hace. En tres dimensiones espaciales, la materia está distribuida de una forma cualquiera, pero donde hay elección –fundamento del libre albedrío- es en cómo nos movemos, o cómo distribuimos la parte de materia sobre la que tenemos control, a lo largo del tiempo. Las decisiones, las elecciones se desarrollan siempre en un contexto dinámico al suponer un cambio con respecto a lo que ya hay. Si el tiempo se convierte en una dimensión espacial más (aunque nuestra percepción subjetiva sea diferente), deja de haber decisión.

Si esto fuera cierto, todo sería una geometría de un espacio-tiempo rígido[17], sin cambio. Sólo quedaría un margen para el libre albedrío, aunque necesitaríamos salir de lo físico y pasar a lo metafísico: si las decisiones nuestras fueran tomadas fuera del tiempo y del espacio y ya hubiéramos decidido en ese estado de cosas lo que vamos a hacer, con lo que el espacio-tiempo no sería más que la plasmación de nuestras decisiones previas (tomadas en un supuesto “mundo eidético” preexistente al Universo), la cristalización en la macroestructura cuatridimensional de nuestras decisiones (¿incluidas las de un posible Dios?). Esto conciliaría la posibilidad del libre albedrío con lo defendido por religiones como la católica en que Dios es omnipotente y lo conoce todo sin menoscabar nuestra libertad[18] (aunque postulando un estado previo de preexistencia del alma, lo que es absolutamente indemostrable, pero nos vemos obligados si queremos mantener las premisas previas y la premisa del libre albedrío).

Sin una solución de este estilo, un Dios Omniactuante que modifique arbitrariamente el espacio-tiempo colisionaría con nuestro libre albedrío.

Dios Todopoderoso[19]

Es el Dios que puede realizar cualquier cosa, incluso que no hayan ocurrido cosas que ya han ocurrido, o contradecirse; o violar o redefinir las leyes de la lógica.

Aplicaciones del teorema de incompletitud de Gödel a la teología natural

En este apartado se aplica el teorema de incompletitud de Gödel[20] a la teología natural  para probar que Dios debe ser “inconsistente” y/o “infinito” para ser “completo”, y las consecuencias de esta idea en la Creación y el Caos.

Existen tres leyes básicas en la lógica aristotélica clásica: el principio de identidad (“A es A”), el principio de no contradicción (“no pueden darse A y no-A al mismo tiempo”) y el principio del tercero excluido (“todo enunciado es o verdadero o no verdadero”). No consideramos aquí a la lógica multivalente, que tiene más valores de verdad aparte de los de verdadero y falso, y que vimos anteriormente en las notas.

Dios: completitud e inconsistencia

Imaginemos la Nada, antes de una hipotética Creación. No existiría lo que conocemos, lo que incluiría a las propias leyes de la lógica, con lo que sería posible la contradicción. Sería la Nada como posibilidad de Todo.

Analicemos las consecuencias:

Podría decirse que en la Nada habría “cero entes” (dejando de lado que los propios conceptos de cero y conjunto vacío pudieran no tener sentido en la Nada). Según el principio de identidad, el cero es igual a cero, una afirmación cierta aunque no se tuviera la obligación necesaria de que se cumpliera como hemos dicho arriba. “0 = 0” sería sólo uno de los resultados posibles porque, al no existir el principio de contradicción, podríamos escribir la contradicción 0 = 1 y, a partir de ahí, 0 = 1 + 0 = 1 + 1 = 2 y todos los números naturales, luego los enteros y demás, llegando finalmente a poderse estructurar todo un sistema matemático inconsistente (de momento nos circunscribiremos a la matemática y a la lógica). Sin embargo, todo sería una inmensa indeterminación, ya que se podría demostrar cualquier cosa debido a la contradicción -en virtud del “principio de explosión”, “de una contradicción se deduciría cualquier cosa”[21]-.

Ahora entra en juego el famoso teorema de incompletitud de Kurt Gödel, que “estableció que cualquier sistema lógico lo bastante grande como para contener la aritmética ordinaria era necesariamente incompleto”[22]. Este teorema dice que un sistema matemático tiene que ser incompleto para ser consistente o, si es completo acaba siendo inconsistente, es decir, niega la “completitud” de ciertos sistemas: “nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad”[23].

Como hemos visto, la inconsistencia nos lleva a que cualquier enunciado sea verdadero, lo que en el fondo es una indeterminación total que no nos sirve en Ciencia (no nos permitiría concretar nada, ni hacer predicciones de hechos), pero, supuestamente, haría posible todo. Y ahora es cuando llegamos a la aplicación del teorema de Gödel a la teología natural: si –de existir– Dios es “Todopoderoso” u omnipotente en un sentido “absoluto” (el indicado al inicio de este apartado), no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; y nuestro universo supuestamente creado por Él sólo sería un caso particular –siendo así una parte consistente e incompleta dentro del total inconsistente y completo– que es nuestro universo.

Debemos aclarar que aquí tomamos todos los universos posibles como un sistema matemático “completo”. En realidad deberíamos decir que un Dios Todopoderoso debería ser capaz de construir un sistema matemático “completo”, y podrá hacerlo si es “infinito” o “inconsistente”, como veremos a continuación. Las leyes de nuestro universo vienen con una estructura matemática más o menos subrepticia, que deberá cumplir con los distintos teoremas matemáticos que vengan al caso, de ahí este abuso de notación tratando al universo como un sistema matemático. Hay que extrapolar y tener esto en cuenta a la hora de entender las ideas expuestas, así como otros abusos de notación a los que recurrimos por simplicidad expositiva, como calificar a Dios como “completo” cuando quiere decir “capaz de construir un sistema matemático completo”, y demás casos parecidos.

Retomamos el argumento: Dios debería ser capaz de contradecirse para ser omnipotente absoluto y resolver, mediante la aceptación de la inconsistencia, la paradoja de la omnipotencia: “¿puede Dios crear una piedra que ni Él mismo pueda levantar?” Claro que sí, si Dios es Todopoderoso, si Dios es –usando términos matemáticos– “completo”, debería ser capaz de manejar la inconsistencia. Un Dios omnipotente no debiera estar atado al principio de no contradicción (aunque luego pudiera introducirlo en la universo que decide crear). A nosotros nos puede ser difícil de imaginar, pero ya dijo Montesquieu que “existe un dicho según el cual si los triángulos concibiesen un Dios, lo imaginarían con tres lados”. A nosotros nos puede pasar lo mismo e imaginar a Dios desde un punto de vista demasiado antropomórfico.

Hay que añadir que el Cristianismo es una religión que asume de una forma muy natural la inconsistencia en un marco de consistencia general. La idea de la Trinidad, un Dios “uno y trino”, con el Padre, el Hijo y el Espíritu Santo (3 = 1). Ocurre lo mismo en el Hinduismo con su trinidad de dioses Trimurti (Triple Forma): Brahma, Vishnú y Shiva.

Una pequeña reflexión final en este apartado: Si en la Nada no existe en principio de no contradicción, todo enunciado es verdadero; y cero (la Nada) es, en principio, igual a cualquier cosa. Esto podría llevar a pensar que, más que haber la Nada en el comienzo, sería el Caos, producto de la “inmensa indeterminación” que mencionamos arriba. Un Caos que podría venir recogido en algunas leyendas o mitos (como en las mitologías griega y egipcia) en el que hay un Dios que lo ha ordenado todo y así “crea” nuestro universo, un Dios “ordenador” más que “creador”[24].

Dios: completitud e infinitud

Para que un sistema lógico-matemático sea “completo” sin ser inconsistente debería tener infinitos axiomas. Tomamos un sistema axiomático cualquiera de suficiente complejidad que incluya la aritmética, y siempre, según el teorema de incompletitud de Gödel, va a haber alguna proposición indecidible que no se puede probar o refutar dentro del sistema. La verdad o falsedad de esta proposición deberá ser tomada como un nuevo axioma. Pero este procedimiento no tiene fin, ya que siempre encontraremos nuevas proposiciones indecidibles. Dios debería ir eligiendo cada vez que apareciera una de ellas de una forma iterativa infinita, para lo cual, Dios debería ser “infinito” para poder abarcar esta tarea. “Una mente infinita, como la de Dios, que pueda manejar todos los números a la vez, probablemente no tiene necesidad de axiomas.”[25]

Para nosotros, al ser seres finitos, Dios mismo sería una proposición indecidible, no pudiendo nunca probarle ni refutarle de forma conveniente.

Conclusión: si Dios es “completo”, será infinito y/o inconsistente

Dios, de existir, debería ser capaz de construir un sistema lógico-matemático completo. Como hemos visto, Dios no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica (incluso se podría decir que “crea” las leyes de la lógica) y construir un sistema completo asumiendo la inconsistencia. Otra forma sería crear un sistema completo mediante la introducción de infinitos axiomas, asumiendo la infinitud de Dios. Resumiendo: si Dios es “completo” (es decir, que puede construir un sistema así), debe ser “infinito” y/o “inconsistente” (capaz de manejar la inconsistencia y/o los infinitos).

Conclusiones finales

En los dos primeros puntos, “Dios Omnipotente” y “Dios Omniactuante” hemos tratado de evitar y resolver las contradicciones que surgen del uso del concepto de un Dios con poder infinito de alguna forma, aunque con limitaciones, no olvidando tampoco la importancia del libre albedrío del Hombre en estos aspectos. Son los dos “tipos” de Dios que más se parecen al de la teología cristiana, y nuestros resultados son similares: un Dios que es “Acto Puro” (junto con la no tan cristiana noción de “mundo eidético preexistente” donde las almas preexistentes realizan sus decisiones que se cristalizan en el Universo). Aunque la compatibilidad de la omnisciencia y presciencia divinas con el libre albedrío quedan sin resolver satisfactoriamente, pero el “Acto Puro” de Dios sumado al “mundo eidético preexistente” podrían ser una solución posible[26].

Sin embargo, en el tercer punto, “Dios Todopoderoso”, hemos intentado analizar qué ocurre si asumimos la contradicción y la infinitud con la mayor naturalidad posible. Aunque he de reconocer que en parte es un argumento cíclico, pues empezamos con la propiedad de un Dios “Todopoderoso” (que tiene implícita la “infinitud”), llegándose a la posibilidad de un Dios capaz de manejar la inconsistencia que, aunque implícita en la noción de ser “Todopoderoso”, aquí queda evidenciada. Pero ya dijimos al comienzo que los argumentos del artículo, al ser deductivos, darían lugar a tautologías, sólo que así se aclaran los conceptos (como en matemáticas, que en realidad no son más que una inmensa cantidad de tautologías útiles[27]).


Notas:

[1] Se puede consultar el “Compendio de teología” de Tomás de Aquino como breve introducción a estos aspectos, no hace falta llegar a consultar la “Suma Teológica”.

[2] De manera similar a como Kurt Gödel tomo de base el “Principia Mathematica” de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead cuando formuló sus famosos teoremas de incompletitud que veremos más adelante.

[3] Este método de análisis lógico tiene su utilidad y valor aunque no sea plenamente empírico, puesto que las relaciones lógicas tienen contenido epistémico. Javier de Lorenzo, en el libro “La matemática: de sus fundamentos y crisis”, señala lo siguiente: “[Según Frege] las relaciones lógicas son epistemológicamente relevantes: si un pensamiento α es una consecuencia lógica de un conjunto de pensamientos π, es el conocimiento de los elementos de π lo que da firmeza al conocimiento de α.

A su vez, la independencia de α respecto a π muestra que hay alguna fuente de conocimiento que garantiza a α diferente a la fuente de conocimiento que garantiza a π. Y ello tiene consecuencias de carácter ontológico: si α se demuestra a partir de π, ello implica que α no agrega ningún compromiso ontológico nuevo al aportado por π, pero si α es independiente de π ello implica que lo que garantiza a π no se compone ontológicamente con lo que garantiza a α.”

En definitiva, tomar unas premisas y retorcerlas y manipularlas hasta ver a dónde llegan nos da información sobre las mismas y las aclara ontológicamente.

[4] Para los artículos e ideas que usaremos, ver “Obras Completas” de Kurt Gödel, Alianza Editorial.

[5] Estos tres niveles son tomados como tres premisas secundarias que serán distintas hipótesis de trabajo, y veremos las consecuencias de las mismas.

[6] Aquí tenemos que sacrificar la descripción tradicional de Dios como “Acto Puro”. Véase este texto de Tomás Alvira, “Significado metafísico del Acto y la Potencia en la filosofía del Ser”, para profundizar en estos conceptos desde el punto de vista tomista:

http://dspace.unav.es/dspace/bitstream/10171/2035/1/01.%20TOM%C3%81S%20ALVIRA,%20Significado%20metaf%C3%ADsico%20del%20acto%20y%20la%20potencia%20en%20la%20filosof%C3%ADa%20del%20ser.pdf

[7] Hay un problema con esto y es si esta clase de omnisciencia, que incluiría la presciencia, violenta el libre albedrío. Premisa tácita muy importante en este punto. Se puede ampliar sobre este tema en el artículo “Libertad humana y presciencia divina en Boecio” de Manuel Correia M.: http://www.scielo.cl/pdf/tv/v43n2-3/art07.pdf

[8] Bart Kosko en su libro “Pensamiento borroso” describe un ejemplo cotidiano para un posible uso de la lógica difusa: “Sostened una manzana en la mano. ¿Es una manzana? Sí. El objeto que tenéis en la mano es uno de esos bultos del espacio-tiempo que pertenecen al que llamamos conjunto de las manzanas, el de todas las manzanas que haya habido donde y cuando sea. Dadle un mordisco; masticad ese trozo y tragáoslo. Vuestro tracto digestivo va separando las moléculas de la manzana. El objeto que tenéis en la mano ¿es todavía una manzana? ¿Sí y no? Pegadle otro mordisco. El nuevo objeto ¿es todavía una manzana? Otro mordisco más. Y otro y otro, hasta que no quede nada. La manzana pasa de serlo a no serlo, y a ser nada. Pero ¿cuándo ha traspasado la línea que separa el ser una manzana de no serlo?” Y añade: “Cuando tienes media manzana, tienes tanto una manzana como no la tienes. La media manzana impide una descripción de todo o nada. La media manzana es una manzana borrosa.”

En “Pensamiento borroso” se nos muestran las visiones antagónicas -o no, que en “lógica difusa” nada tiene por qué ser totalmente verdadero o falso- del pensamiento occidental (bivalente, dualista) y el oriental (multivalente y difuso o borroso): un “enfrentamiento” entre Aristóteles y Buda. Además, también nos hace ver la estrecha conexión entre el zen y la lógica difusa.

[9] http://books.google.es/books?id=aUvOAobbNBIC&pg=PA145&lpg=PA145&dq=godel+relatividad+filosofia+idealista&source=bl&ots=hTD90VcqFc&sig=nsYZ9s6fU0JGjcd9sZYQZXoLsRo&hl=es&ei=-XmXStjlHpbQjAf6ucSwBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5#v=onepage&q=&f=false

[10] http://www.elementos.buap.mx/num63/htm/21.htm

[11] “Un mundo sin tiempo”, Palle Yourgrau, pág. 151 (Colección Metatemas, Tusquets Editores, Barcelona, 2007. Traducción: Rafael de las Heras Alfonso.): “Gödel demostró matemáticamente que en el modelo de mundo que había construido, habría líneas de mundo temporales continuas conectando dos acontecimientos cualesquiera (…)”. “… Gödel concluyó que la estructura de espacio-tiempo en tal mundo sería claramente un espacio, no un tiempo, y por consiguiente, que t, la componente temporal del espacio-tiempo, sería de hecho otra dimensión espacial y no el tiempo como nosotros lo entendemos en la experiencia cotidiana.” Pág 173: “… [Para Gödel] el tiempo –y, por lo tanto, la velocidad y el movimiento- es sólo una ilusión. Pues si se puede volver a visitar el pasado, éste todavía existe.” “Para Gödel, si hay viaje a través del tiempo, no hay tiempo.”

[12] Palle Yourgrau, pág. 35: “siendo el tiempo absorbido por completo dentro de la geométrica de un hiper-espacio”.

[13] Para más información acerca del tiempo como “medida del cambio”, ver mi artículo “¿Una nueva dimensión temporal?”: https://angelrey.wordpress.com/2008/02/08/%C2%BFuna-nueva-dimension-temporal/

[14] http://es.wikipedia.org/wiki/Doctor_Manhattan

[15] Pongo aquí el extracto del relato “La línea de la vida” de Robert A. Heinlein en que se describe su idea del tiempo como una dimensión espacial más. Obviamente es ficción, pero resulta muy sugerente para dar una idea intuitiva de lo que se plantea en este apartado: “Supongamos que lo tomamos a usted como ejemplo. Se llama Rogers, ¿verdad? Muy bien, Rogers, usted es un fenómeno espaciotemporal cuya duración se extiende a través de cuatro dimensiones. No llega usted a un metro ochenta de altura, tiene usted unos cuarenta y cinco centímetros de ancho y quizá veinte de grueso. En el tiempo, hay tras de usted una cierta cantidad de este fenómeno espaciotemporal que se prolonga quizá hasta1916, y del cual vemos una sección transversal que forma un ángulo recto con el eje del tiempo, del grosor del presente. En su extremo más alejado hay un bebé, oliendo a leche agria y echándose encima el desayuno de su biberón. En el otro extremo yace, quizás, un hombre viejo en algún lugar de los años ochenta. Imaginemos este fenómeno espaciotemporal al que llamamos Rogers como un largo gusano rosado, continuo a través de los años, con un extremo en el seno de su madre y el otro en la tumba. Se extiende aquí junto a nosotros, y la sección transversal que podemos ver se nos aparece como un cuerpo normal y corriente. Pero esto es una ilusión. En este gusano rosado hay una continuidad física, que permanece a través de los años. En realidad esta continuidad física es un concepto común a toda la raza, ya que esos gusanos rosados surgen de otros gusanos rosados. De este modo la raza es como una enredadera cuyas ramas se entrelazan y dan nacimiento a otros vástagos. Tan sólo efectuando una sección transversal de esta enredadera podríamos caer en el error de creer que los vástagos son individuos independientes.”

[16] Obviamente, aquí usamos “tiempo” en un sentido intuitivo, no como una dimensión espacial más.

[17] “Como él mismo apuntó [[John Wheeler]], una consecuencia inquietante de la teoría especial de la relatividad de Einstein de 1905 es que el tiempo es relativo. Y no sólo relativo, sino “estático”, pues la otra cosa que la relatividad especial hizo con el tiempo [fue] unirlo con el espacio en la entidad tetradimensional del espacio-tiempo […]. Un resultado de esta nueva visión del espacio-tiempo es que el movimiento a través del tiempo, o movimiento de tiempo […], es reemplazado por el tiempo estático.” (p.182)

[18] Al modo que se dice que Dios es “Puro Acto”.

[19] En mi blog “Apuntes y digresiones” publiqué varios posts que son refundidos aquí en este apartado: “Dios, completitud e inconsistencia” (https://angelrey.wordpress.com/2008/05/13/dios-completitud-e-inconsistencia/), “La inconsistencia y la completitud en el Cristianismo” (https://angelrey.wordpress.com/2008/05/22/la-inconsistencia-y-la-completitud-en-el-cristianismo/) y “Dios, completitud e infinitud” (https://angelrey.wordpress.com/2009/01/01/dios-completitud-e-infinitud/)

[20] Ver “La trama oculta del Universo” de John D. Barrow para una descripción intuitiva del famoso teorema.

[21] Ver Wikipedia, “Principio de explosión”: http://es.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_quodlibet

[22] “La trama oculta del universo” de John Barrow.

[23] Para una idea de los conceptos basta con consultar el artículo de la Wikipedia de donde se ha extraído la cita: http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del

[24] Lo llamo “ordenador” mejor que “arquitecto” para no dar lugar a malinterpretaciones masónicas o de cualquier otro tipo que enturbien el debate”.

[25] “Un mundo sin tiempo”, Palle Yourgrau, pág. 80.

[26] Aprovecharé esta nota para exponer una serie de especulaciones más arriesgadas que bien podrían venir al caso. También es cierto que esta idea (la de Dios como “Acto Puro” junto a un “mundo eidético preexistente”) podría ser compatible con la teología cristiana al presuponer de algún modo un “pecado original” aunque no se haya tomado decisiones en vida nada más nacer (pero sí que se han tomado “antes” –fuera del tiempo– en el “mundo eidético preexistente”. El transcurrir del tiempo sería una ilusión en la “macroestructura cuatridimensional” que mencionábamos más arriba y que se habría conformado en la combinación conjunta y simultánea de las decisiones de las personas, animales y Dios. E incluso las propias leyes naturales y las consecuencias de las mismas –incluyendo desgracias como terremotos, etc.– serían una especie de “Creación conjunta” entre los creados y Dios al combinarse todas las decisiones, con lo que podría quedar resuelto el problema del “mal natural” si éste es englobado o imbricado en el de un “mal moral” en el mundo eidético preexistente (aunque esto recuerde al Calvinismo). Además, el libre albedrío estaría en el “mundo preexistente”, por lo que en la “macroestructura cuatridimensional”, o sea, en nuestro Universo, podría no haber “libre albedrío” y venir todo regido por leyes deterministas sin violentar nuestro libre albedrío previo del “mundo preexistente”. Así, el libre albedrío y el transcurrir del tiempo serían una ilusión en nuestro Universo, pero reales en el “mundo previo preexistente” (no importando que se llegara a demostrar en nuestro Universo que no existe el libre albedrío en experimentos como el de Libet –https://angelrey.wordpress.com/2008/12/29/%C2%BFdonde-estan-los-pensamientos-%C2%BFdonde-esta-el-yo/–, de controvertida interpretación, aunque esto dista mucho de ser falsable y “popperiano”…). En nuestro Universo actual sólo tendríamos la ilusión de la “conciencia” como una reminiscencia de ese estado de decisión del “mundo previo”, lo que puede recordar a la búsqueda de la “extinción del ego” en religiones y filosofías como el taoísmo, el zen o el sufismo (ver: http://www.ayahuasca-wasi.com/espanol/dharma/psicologia%20transpersonal.html y http://www.tendencias21.net/Oriente-y-Occidente-dos-aproximaciones-a-la-conciencia_a1091.html).

[27] “Teoremas matemáticos, tautologías y ajedrez”, de mi blog “Apuntes y digresiones”: https://angelrey.wordpress.com/2008/12/08/teoremas-matematicos-tautologias-y-ajedrez/

01
Jul
10

Relaciones lógicas y epistemología según Frege

En el libro de Javier de Lorenzo, “La matemática: de sus fundamentos y crisis” (sobre la “célebre” e interesantísima “crisis de fundamentos”), hay un par de párrafos que resumen una lúcida idea de Gottlob Frege (los subrayados y negritas son míos):

“[Según Frege] las relaciones lógicas son epistemológicamente relevantes: si un pensamiento α es una consecuencia lógica de un conjunto de pensamientos π, es el conocimiento de los elementos de π lo que da firmeza al conocimiento de α.

A su vez, la independencia de α respecto a π muestra que hay alguna fuente de conocimiento que garantiza a α diferente a la fuente de conocimiento que garantiza a π. Y ello tiene consecuencias de carácter ontológico: si α se demuestra a partir de π, ello implica que α no agrega ningún compromiso ontológico nuevo al aportado por π, pero si α es independiente de π ello implica que lo que garantiza a π no se compone ontológicamente con lo que garantiza a α.

13
Nov
09

Dos descripciones de la “paradoja de Russell”

Russell1907-2 Roger Penrose, en su libro “El camino a la realidad” resume en unas pocas líneas la “paradoja de Russell:

“Esta paradoja procede del siguiente modo. Consideremos el conjunto R que consiste en “todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos”. (Por el momento, no importa si uno está dispuesto a creer que un conjunto pueda ser miembro de sí mismo. Si ningún conjunto pertenece a sí mismo, entonces R es el conjunto de todos los conjuntos.) Planteamos la pregunta: ¿qué pasa con el propio R? ¿Es R un miembro de sí mismo? Supongamos que lo es. Entonces, puesto que pertenece al conjunto R de conjuntos que no son miembros de sí mismos, no pertenece a sí mismo después de todo: ¡una contradicción! La hipótesis alternativa es que no pertenece a sí mismo. Pero, entonces, debe ser un miembro de la familia de conjuntos que no son miembros de sí mismos, a saber, el conjunto R. Así pues, R pertenece a R, lo que contradice la hipótesis de que no pertenece a sí mismo. ¡Lo cual es una clara contradicción!”


Esta paradoja se puede expresar de otras formas. Entre las diferentes versiones que se pueden encontrar, veamos este ejemplo extraído del libro “El teorema de Gödel” de Ernst Nagel y James R. Newman:

“… BERTRAND RUSSELL construyó una contradicción dentro del sistema mismo de la lógica elemental, que es precisamente análoga a la contradicción primeramente desarrollada en la teoría cantoriana de las clases infinitas. La antinomia de RUSSELL puede ser enunciada del modo siguiente. Las clases parecen ser de dos tipos: las que no se contienen a sí mismas como miembros y las que sí se contienen. Una clase será llamada “normal” si, y solamente si, no se contiene a sí misma como miembro; en otro caso se la llamará “no normal”. Un ejemplo de clase normal es la clase de los matemáticos, ya que, evidentemente, la clase misma no es un matemático y, por tanto, no es un miembro de sí misma. Un ejemplo de clase no normal es la clase de todas las cosas pensables, ya que la clase de todas las cosas pensables es, a su vez, pensable y, por consiguiente, un miembro de sí misma. Sea “N”, por definición, la clase de todas las clases normales. Preguntamos si N mismo es una clase normal. Si N es normal, es un miembro de sí misma (pues, por definición, N contiene a todas las clases normales); pero, en ese caso, N es no normal, porque, por definición, una clase que se contiene a sí misma es no normal. Por otra parte, si N es no normal, es un miembro de sí misma (por la definición de no normal); pero, en ese caso, N es normal, porque, por definicion, los miembros de N son las clases normales. En resumen, N es normal si, y solamente si, N es no normal. De lo que se desprende que la afirmación “N es normal” es verdadera y falsa a la vez. Esta fatal contradicción se produce como consecuencia de utilizar sin espíritu crítico una noción aparentemente diáfana de clase, Posteriormente fueron encontrándose otras paradojas, construidas todas por medio de familiares y aparentemente convincentes modos de razonamienro. Los matemáticos acabaron comprendiendo que, en la tarea de desarrollar sistemas consistentes, la familiaridad y la claridad intuitiva son soportes harto débiles en que apoyarse.”

11
Nov
09

Sobre las diferencias de cardinalidad entre “mecánicas cuánticas”

cmc Hay un artículo de Carlos M. Madrid Casado que habla de las posibles diferencias de cardinalidad entre la mecánica cuántica ondulatoria de Schrödinger (continua) y la mecánica cuántica matricial de Heisenberg (discreta). Pese a las pruebas de equivalencia matemática (que supondrían una equivalencia a nivel “instrumental”), el problema no se resolvería, sólo se desplaza a un nivel “ontológico” o “filosófico”, surgiendo un problema de interpretación. Las dos teorías, aun válidas matemáticamente, filosóficamente son incompatibles, contradictorias en sus fundamentos. Ontológicamente seguiría habiendo una diferencia de cardinalidad entre ambas teorías y, con ello, no habría una equivalencia “física” total, sólo “matemática” (a nivel de “resultados” sí, pero no iguales en “esencia”).


Aquí lo tenéis, a ver qué os parece, se titula el artículo “Entre Física, Matemáticas y Filosofía”:

http://www.nodulo.org/ec/2009/n085p01.htm


– Extracto (siendo MM la Mecánica Matricial de Heissenberg y MO la Ondulatoria de Schrödinger, la negrita y subrayados son míos):

“Nuestro propósito es construir un argumento por reducción al absurdo contra el realismo estructural a partir de nuestro caso de estudio. Supongamos por hipótesis que los modelos matemáticos MM y MO son, respectivamente, isomorfos a las estructuras de los sistemas reales X e Y que aspiran a representar. En principio, si la relación entre modelo y realidad es de isomorfismo, las estructuras de X e Y deben ser también isomorfas, dado que MM y MO lo son (Teorema de Equivalencia de Von Neumann) y la composición de isomorfismos es isomorfismo (si X es isomorfo a MM, MM y MO son isomorfos y MO es isomorfo a Y, entonces X e Y son isomorfos). Ahora bien, realmente, ¿son la estructura de X y la estructura de Y isomorfas?

Si lo fueran, deberían tener la misma cardinalidad, como es matemáticamente bien conocido. Pero esto no es, ni mucho menos, así. La estructura de X es discreta, dado que el dominio de MM son los números naturales (lo que se asociaba a una concepción corpuscular del microcosmos). En cambio, como estudiamos, la estructura de Y es continua, dado que el dominio de MO son los números reales (lo que se asociaba con una concepción ondulatoria del microcosmos). MM y MO nos dibujan dos estructuras de la realidad no isomorfas. Resumiendo: MM y MO son matemática y empíricamente equivalentes, pero estructural y ontológicamente incompatibles. Contradicción.

10
Nov
09

El salario mínimo genera desempleo

Las ideas y premisas que vamos a utilizar para nuestro razonamiento (procurando aunar el suficiente rigor con un propósito didáctico para quienes tienen ya nociones), aunque se admiten matizaciones, vienen descritas en cualquier manual de Economía Política básica de cualquier lugar del mundo, excepto en países como Cuba y Corea del Norte. Usemos, por ejemplo, el libro “Economía. Teoría y Política” de Francisco Mochón Morcillo, la cuarta edición de McGraw-Hill. Lo veremos desde un punto de vista cualitativo y general.

Tomemos, ceteris paribus, las gráficas que representan la oferta y la demanda de empleo (en un “mercado de trabajo” ideal, homogéneo, etc.) bajo las coordenadas “P” (P = Salarios) y “Q” (Q = cantidad de trabajo).

grafica1_

Con ello tenemos esta gráfica (damos por conocida por el lector la teoría económica que describe el funcionamiento y características del “mercado de trabajo“, con estas gráficas, funciones y demás; de todas formas, viene recogido en los capítulos 10 y 11 del libro de Mochón), con S la oferta del empleo y D la demanda y “q” y “p” los valores concretos de la cantidad de empleo y del salario del punto de equilibrio. Cabe precisar que son los trabajadores quienes ofertan su trabajo y las empresas quienes lo demandan, eso representan respectivamente S y D. El punto de intersección entre ambas representaciones es el punto de equilibrio y lo que en la práctica se produciría en un mercado libre. ¿Pero qué pasa si imponemos por ley un salario mínimo?

Antes, leamos unos párrafos del capítulo 20 del libro de Mochón (la negrita es del texto original, los subrayados míos):

“El equilibrio en el mercado de trabajo determina el nivel de empleo de equilibrio, que es además el nivel de pleno empleo. Este nivel de empleo de equilibrio determina el nivel de producción de la economía vía función de producción agregada. De esta forma, en términos del modelo neoclásico el nivel de producción de equilibrio viene determinado exclusivamente por la producción ofrecida por las empresas, no por la producción demandada por los consumidores. Por ello puede afirmarse que en el modelo clásico/neoclásico es la oferta la que domina sobre la demanda.

(…)

Desde una perspectiva clásica, si existe desempleo éste sería voluntario, pues una reducción de los salarios reales aumentaría el empleo y la producción. En este sentido el desempleo se debe, en última instancia, a una inadecuada política de salarios, ya que éstos no se ajustan a los cambios en la función de demanda real de mano de obra.

Para los clásicos, dado que el desempleo está motivado porque los trabajadores piden un salario real superior al de equilibrio, cualquier aumento de la demanda agregada no lograría reducir el paro, pues las empresas no estarían dispuestas a aumentar el empleo a los salarios reales vigentes. Los posibles aumentos de la demanda agregada sólo se traducirían en aumentos de precios y posteriormente de salarios nominales, para evitar pérdidas del poder adquisitivo. En este sentido, se dice que los trabajadores no tienen ilusión monetaria.”


Cuando existe un salario mínimo impuesto por ley, los trabajadores “piden un salario real superior al de equilibrio” porque se ven obligados por ley. Con el salario mínimo se rompe ese equilibrio al ser, por definición, una intervención que impide el equilibrio.

Como se desprende del texto de Mochón, modificar la curva de demanda no es solución, por lo que es preferible dejarla como está. Por tanto, sólo queda margen de acción a la curva de oferta, es decir, a los trabajadores. La oferta se desplazaría hacia arriba hasta encontrar el nuevo equilbrio con el salario mínimo.

grafica2

Vemos que, en efecto, ha aumentado el salario (p’>p), pero que la cantidad de personas con un empleo ha disminuido (q'<q, una cantidad de trabajo menor se cubre con menos trabajadores) respecto al equilibrio original (en un mercado libre no intervenido). Luego, resumiendo,  subir el salario mínimo genera desempleo, aunque el salario de los que aún pueden trabajar sea más alto (el salario mínimo expulsa de este mercado de trabajo intervenido a aquellas personas que quieren trabajar por un sueldo menor). En concreto, aumenta el desempleo en los jóvenes, personas con poca formación, etc.

Los sindicatos, al apoyar intervenciones como éstas, no defienden los derechos de todos los posibles trabajadores, sino los privilegios de quienes ya tienen un empleo. Estos son los hechos y consecuencias que se derivan de la teoría económica convencional. El debate y la decisión entre elegir un modelo con más personas trabajando con menos salario u otro con menos trabajo disponible y mayores sueldos es un debate ideológico, no de la ciencia económica.

Las ideas filosóficas liberales defienden el primer modelo porque el salario mínimo, como intervención coactiva que es, atenta contra la libertad (incluso en el caso de un modelo o caso particular en el que el salario mínimo aumentara el empleo, si tomamos como premisa básica la libertad, no es admisible el salario mínimo -lo que no quiere decir que sea incompatible con otras formas de protección social a las personas más desfavorecidas-). Además, personalmente, pienso que una de las mayores lacras para una sociedad es un tasa elevada de paro, puesto que desanima a los que ya se encuentran en esa situación y provoca incertidumbres sobre el crecimiento de un país. Más empleo reduciendo los salarios aumenta las posibilidades de mejorar y prosperar. En la Historia de la Humanidad hemos visto cómo es el trabajo lo que lleva a nuevas ideas y a más progreso -salimos de la “pobreza” hasta llegar a donde estamos hoy-, por no olvidar el carácter edificante que tiene el trabajo en sí mismo. Por ello creo necesario eliminar esa coacción llamada “salario mínimo”, reduciéndolo progresivamente hasta su eliminación, evitando cambios bruscos y traumáticos. Para ello hace falta un consenso social fruto de la difusión de estas ideas y la refutación de muchos mitos. No al salario mínimo.

En resumen, si una persona libremente quiere (por las razones que sea) aceptar un empleo cobrando por debajo del salario mínimo, ¿por qué no puede hacerlo?


– Añadido del 11 de noviembre de 2009:

Me indican que un salario mínimo suficientemente bajo no tiene incidencia sobre el empleo. Esto, lógicamente, es correcto. En el post considero como supuesto tácito un salario mínimo por encima del punto de equilibrio, puesto que por debajo no tendría sentido establecerlo. Como podemos ver en la gráfica, cualquier salario mínimo por debajo del punto de equilibrio no incide sobre el mercado de trabajo; no tiene ningún efecto ya que hay libertad para que se encuentren sin restricciones las funciones de oferta y de demanda en el punto de equilibrio. Pero entonces, ¿qué sentido tendría imponerlo? ¿Por qué no quitarlo? En ambos casos, si queremos un mercado de trabajo libre y razonable, no debemos fijar un salario mínimo.

También quiero resaltar que no creo que el salario mínimo sea la razón principal del desempleo en España, ya que, como acertadamente me señala por Facebook José Bailén, hay otros factores más decisivos, como que los beneficios por desempleo son muy altos (“muchísimo más altos que en otro país de la OCDE, me dice José) o la rigidez de los contratos y el elevado coste de despido. Con este post he pretendido desmitificar el tema del salario mínimo y combatir la desinformación que produce la demagogia de Zapatero cuando lo saca a colación, desmontando una de sus ocurrencias populistas más queridas; aparte del interés didáctico que tiene por sí mismo.




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