Sobre las diferentes gradaciones posibles de la potencia de Dios

Para la asignatura de Teodicea que cursé este año con Sixto Castro tuve que realizar un trabajo que reproduzco aquí. Antes de que vengan las críticas y las quejas («¡No es falsable!», etc. etc.) quiero aclarar que, aunque pueda usar conceptos extraídos de la Ciencia, soy consciente de que no se puede considerar «Ciencia» en el sentido estricto al no ser para nada «popperiano», pero creo que como ejercicio intelectual podría tener algo de valor. He aquí:

Ángel Rey Gallego

Introducción

En principio usaremos los términos en un sentido tomista[1], pues será, por así decirlo, la base intuitiva que nos daremos para comenzar[2], aunque vayamos a ser flexibles. Posteriormente, durante el desarrollo, nos iremos alejando de la terminología habitual siempre que sea necesario para expresar los distintos conceptos.

Tendremos unas premisas fundamentales de las que partiremos: 1) Dios existe y 2) es de algún modo ilimitado o infinito en su poder; sirva esto como piedra angular de todo el artículo. Esa “infinitud” puede dar lugar a paradojas o contradicciones que intentaré resolver (en un primer momento) o admitir intelectualmente (en el último caso) a lo largo del artículo. Para ello indicaré si se necesitan introducir nuevas premisas.

La forma de análisis que se va a realizar es lógico-deductiva: partimos de distintas premisas como axiomas y vamos derivando las consecuencias que se extraigan (por ello no debe extrañar que se aparte de una visión empirista -aunque sí se tenga en cuenta a la hora de postular premisas como la del libre albedrío-, ya que es totalmente intencionado en este estilo de análisis). Es decir, salvo error u omisión en los argumentos, las conclusiones son una tautología[3], pero su veracidad final depende de que los axiomas y premisas, en principio indemostrables, sean ciertos.

Las conclusiones serán válidas para cada premisa secundaria, pues consideraremos tres casos posibles. No podemos aplicar indistintamente las conclusiones de un caso a otro.

Usaremos también ideas de Kurt Gödel[4], que bastarán con una somera comprensión conceptual de lo que nos ilustran, no matemáticamente estricta (ya que sería muy complejo). No seremos en exceso rigurosos, pues nos interesa el componente cualitativo.

Tres niveles posibles de la “potencia” de Dios

Podría graduarse el poder o “potencia” de Dios en tres niveles[5], en todos “infinito” pero de diferentes clases, aunque para ello habría que redefinir los términos usados a cómo se utilizan normalmente:

1.- Omnipotente: Sería un Dios con un poder infinito en cuanto a la hora de realizar acciones y prever el resultado de las mismas, pero una vez realizada una no puede volver atrás.

2.- Omniactuante: Dios puede intervenir en cualquier momento del tiempo y del espacio, pero no puede vulnerar las dos leyes más fundamentales de la lógica (el principio de identidad y el de no contradicción).

3.- Todopoderoso: Es el Dios que puede realizar cualquier cosa, incluso que no hayan ocurrido cosas que ya han ocurrido, o contradecirse.

Dios Omnipotente

Dios podría tener un poder infinito para realizar acciones y prever el resultado de las mismas, pero sin poder volver atrás. Parecido a un tablero de ajedrez, donde puedes ir, por así decirlo, “hacia adelante, pero no hacia atrás”. Puede realizar cualquier acción, pero no hacer desaparecer de la existencia lo que ha ocurrido o decisiones que ya ha tomado. En definitiva, Dios no puede “viajar en el tiempo”.

Si Dios tuviera este tipo de poder “limitado”, podría ser “omnipotente” evitando todas las contradicciones que surgen al utilizar este tipo de conceptos. Esto es así porque redefinimos el uso habitual de la palabra omnipotencia y la distinguimos de un Dios “omniactuante” (que veremos en el siguiente punto). ¿Cómo? Mediante la distinción entre Potencia y Acto que describió Aristóteles. Potencia, lo que puede llegar a ser; Acto, lo que verdaderamente llega a ser[6].

Así pues, en este caso, Dios es omnisciente en virtud de su omnipotencia, y puede adivinar todas las consecuencias de cada una de las decisiones que tome él y que puedan tomar las personas o animales; además de prever todo lo que venga regido por las leyes naturales[7]. Tiene, por así decirlo, una visión global de todas las ramificaciones posibles del árbol de decisiones a las que se puede optar, y escoge lo que cree óptimo, pero no puede volver hacia atrás para cambiar las cosas. Un Dios omnipotente se ve afectado por el transcurrir del tiempo, renunciando a actos potenciales por cada decisión que toma, como en el transcurso de una partida de ajedrez.

Este es el caso más sencillo de los tres, y con el que se resolverían paradojas de la omnipotencia que involucren de alguna manera el concepto de tiempo como “medida del cambio”. Ya sea como medida del cambio en el universo que Él ha creado, o como medida del cambio de las decisiones que el propio Dios toma en un “mundo divino” previo o coexistente en el que pudiera habitar (cada decisión que toma hace que pase el tiempo para Dios).

Dios Omniactuante

Dios tendría aquí poder para intervenir en cualquier momento del tiempo y del espacio, como si el universo estuviera formado por una estructura cuatridimensional que pudiera “moldear”. No obstante, en esta opción Dios tiene una limitación: no puede vulnerar las dos leyes más fundamentales de la lógica (el principio de identidad y el de no contradicción, dos caras de una misma moneda; el principio del tercero excluso sí, ya que se pueden desarrollar sistemas que no lo cumplan –lógicas multivalentes, etc.– y son perfectamente libres de contradicción[8]).

No obstante, debido a que es un hecho demasiado evidente que tiene su influencia fundamental en el tratamiento de estas ideas, tenemos que introducir aquí la premisa del libre albedrío del Hombre dado por Dios, y que entraría en colisión con esa absoluta libertad divina de disponer del universo cuatridimensional y modificarlo en cualquier momento.

Libre albedrío y necesidad del tiempo

En este apartado se defiende la necesidad del tiempo para poder ejercer el libre albedrío, usando ideas de Einstein y de Gödel para ello.

Gödel en su artículo[9] “Algunas observaciones acerca de la relación entre la teoría de la relatividad y la filosofía idealista”[10] hace unas reflexiones interesantes acerca de la naturaleza del tiempo. Usando las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General da cuenta de un universo, el “universo de Gödel”, y demuestra la inexistencia del tiempo. Su principal argumento para ello consiste en afirmar que si es posible el viaje en el tiempo, aunque sea sólo de una forma teórica, entonces el tiempo no tiene sentido: no existe[11]. El tiempo que describirían las ecuaciones de Einstein sería un tiempo como una cuarta dimensión “espacial”, no el tiempo intuitivo en que siempre pensamos.

Esta idea haría del universo una macroestructura de cuatro dimensiones espaciales[12], sin tiempo intuitivo como medida del cambio[13], sino como una dimensión espacial más. Nosotros seríamos seres instantáneos que vamos desarrollándonos en una cuarta dimensión más que no captamos por completo (sólo recordando el pasado, si bien no percibiéndolo; o intuyendo el futuro). No se puede ver la línea temporal de forma completa, puede que debido a una subjetiva característica perceptiva nuestra, pero eso no quiere decir que el universo no pueda conformarse en la macroesctructura que se plantea.

Por tomar un ejemplo de la ficción, en el cómic “Watchmen” (Alan Moore y Dave Gibbons), un personaje, el Doctor Manhattan[14], tiene una percepción del tiempo como un todo, prefijado y predeterminado. También, en el primer relato que escribió Robert A. Heinlein, “La línea de la vida”, un inventor consigue averiguar la duración de la vida humana[15] y toma el cuerpo presente de cada persona como una “sección transversal” de la línea de vida (de tiempo) completa.

Pero esta idea del tiempo como algo predeterminado y como una dimensión más englobada en el “espacio-tiempo” de cuatro dimensiones (en una estructura puramente geométrica; sin factores dinámicos, sin cambio), atenta gravemente contra la idea del libre albedrío. Si todo está prefijado, no podría existir. Sin tiempo[16], no existe el libre albedrío.

Una macroestructura geométrica sin tiempo como medida del cambio no permite la existencia del libre albedrío, ya que su fundamento es poder elegir lo que se hace. En tres dimensiones espaciales, la materia está distribuida de una forma cualquiera, pero donde hay elección –fundamento del libre albedrío- es en cómo nos movemos, o cómo distribuimos la parte de materia sobre la que tenemos control, a lo largo del tiempo. Las decisiones, las elecciones se desarrollan siempre en un contexto dinámico al suponer un cambio con respecto a lo que ya hay. Si el tiempo se convierte en una dimensión espacial más (aunque nuestra percepción subjetiva sea diferente), deja de haber decisión.

Si esto fuera cierto, todo sería una geometría de un espacio-tiempo rígido[17], sin cambio. Sólo quedaría un margen para el libre albedrío, aunque necesitaríamos salir de lo físico y pasar a lo metafísico: si las decisiones nuestras fueran tomadas fuera del tiempo y del espacio y ya hubiéramos decidido en ese estado de cosas lo que vamos a hacer, con lo que el espacio-tiempo no sería más que la plasmación de nuestras decisiones previas (tomadas en un supuesto “mundo eidético” preexistente al Universo), la cristalización en la macroestructura cuatridimensional de nuestras decisiones (¿incluidas las de un posible Dios?). Esto conciliaría la posibilidad del libre albedrío con lo defendido por religiones como la católica en que Dios es omnipotente y lo conoce todo sin menoscabar nuestra libertad[18] (aunque postulando un estado previo de preexistencia del alma, lo que es absolutamente indemostrable, pero nos vemos obligados si queremos mantener las premisas previas y la premisa del libre albedrío).

Sin una solución de este estilo, un Dios Omniactuante que modifique arbitrariamente el espacio-tiempo colisionaría con nuestro libre albedrío.

Dios Todopoderoso[19]

Es el Dios que puede realizar cualquier cosa, incluso que no hayan ocurrido cosas que ya han ocurrido, o contradecirse; o violar o redefinir las leyes de la lógica.

Aplicaciones del teorema de incompletitud de Gödel a la teología natural

En este apartado se aplica el teorema de incompletitud de Gödel[20] a la teología natural  para probar que Dios debe ser “inconsistente” y/o “infinito” para ser “completo”, y las consecuencias de esta idea en la Creación y el Caos.

Existen tres leyes básicas en la lógica aristotélica clásica: el principio de identidad (“A es A”), el principio de no contradicción (“no pueden darse A y no-A al mismo tiempo”) y el principio del tercero excluido (“todo enunciado es o verdadero o no verdadero”). No consideramos aquí a la lógica multivalente, que tiene más valores de verdad aparte de los de verdadero y falso, y que vimos anteriormente en las notas.

Dios: completitud e inconsistencia

Imaginemos la Nada, antes de una hipotética Creación. No existiría lo que conocemos, lo que incluiría a las propias leyes de la lógica, con lo que sería posible la contradicción. Sería la Nada como posibilidad de Todo.

Analicemos las consecuencias:

Podría decirse que en la Nada habría “cero entes” (dejando de lado que los propios conceptos de cero y conjunto vacío pudieran no tener sentido en la Nada). Según el principio de identidad, el cero es igual a cero, una afirmación cierta aunque no se tuviera la obligación necesaria de que se cumpliera como hemos dicho arriba. “0 = 0” sería sólo uno de los resultados posibles porque, al no existir el principio de contradicción, podríamos escribir la contradicción 0 = 1 y, a partir de ahí, 0 = 1 + 0 = 1 + 1 = 2 y todos los números naturales, luego los enteros y demás, llegando finalmente a poderse estructurar todo un sistema matemático inconsistente (de momento nos circunscribiremos a la matemática y a la lógica). Sin embargo, todo sería una inmensa indeterminación, ya que se podría demostrar cualquier cosa debido a la contradicción -en virtud del “principio de explosión”, “de una contradicción se deduciría cualquier cosa”[21]-.

Ahora entra en juego el famoso teorema de incompletitud de Kurt Gödel, que “estableció que cualquier sistema lógico lo bastante grande como para contener la aritmética ordinaria era necesariamente incompleto”[22]. Este teorema dice que un sistema matemático tiene que ser incompleto para ser consistente o, si es completo acaba siendo inconsistente, es decir, niega la “completitud” de ciertos sistemas: “nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad”[23].

Como hemos visto, la inconsistencia nos lleva a que cualquier enunciado sea verdadero, lo que en el fondo es una indeterminación total que no nos sirve en Ciencia (no nos permitiría concretar nada, ni hacer predicciones de hechos), pero, supuestamente, haría posible todo. Y ahora es cuando llegamos a la aplicación del teorema de Gödel a la teología natural: si –de existir– Dios es “Todopoderoso” u omnipotente en un sentido “absoluto” (el indicado al inicio de este apartado), no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; y nuestro universo supuestamente creado por Él sólo sería un caso particular –siendo así una parte consistente e incompleta dentro del total inconsistente y completo– que es nuestro universo.

Debemos aclarar que aquí tomamos todos los universos posibles como un sistema matemático “completo”. En realidad deberíamos decir que un Dios Todopoderoso debería ser capaz de construir un sistema matemático “completo”, y podrá hacerlo si es “infinito” o “inconsistente”, como veremos a continuación. Las leyes de nuestro universo vienen con una estructura matemática más o menos subrepticia, que deberá cumplir con los distintos teoremas matemáticos que vengan al caso, de ahí este abuso de notación tratando al universo como un sistema matemático. Hay que extrapolar y tener esto en cuenta a la hora de entender las ideas expuestas, así como otros abusos de notación a los que recurrimos por simplicidad expositiva, como calificar a Dios como “completo” cuando quiere decir “capaz de construir un sistema matemático completo”, y demás casos parecidos.

Retomamos el argumento: Dios debería ser capaz de contradecirse para ser omnipotente absoluto y resolver, mediante la aceptación de la inconsistencia, la paradoja de la omnipotencia: “¿puede Dios crear una piedra que ni Él mismo pueda levantar?” Claro que sí, si Dios es Todopoderoso, si Dios es –usando términos matemáticos– “completo”, debería ser capaz de manejar la inconsistencia. Un Dios omnipotente no debiera estar atado al principio de no contradicción (aunque luego pudiera introducirlo en la universo que decide crear). A nosotros nos puede ser difícil de imaginar, pero ya dijo Montesquieu que “existe un dicho según el cual si los triángulos concibiesen un Dios, lo imaginarían con tres lados”. A nosotros nos puede pasar lo mismo e imaginar a Dios desde un punto de vista demasiado antropomórfico.

Hay que añadir que el Cristianismo es una religión que asume de una forma muy natural la inconsistencia en un marco de consistencia general. La idea de la Trinidad, un Dios “uno y trino”, con el Padre, el Hijo y el Espíritu Santo (3 = 1). Ocurre lo mismo en el Hinduismo con su trinidad de dioses Trimurti (Triple Forma): Brahma, Vishnú y Shiva.

Una pequeña reflexión final en este apartado: Si en la Nada no existe en principio de no contradicción, todo enunciado es verdadero; y cero (la Nada) es, en principio, igual a cualquier cosa. Esto podría llevar a pensar que, más que haber la Nada en el comienzo, sería el Caos, producto de la “inmensa indeterminación” que mencionamos arriba. Un Caos que podría venir recogido en algunas leyendas o mitos (como en las mitologías griega y egipcia) en el que hay un Dios que lo ha ordenado todo y así “crea” nuestro universo, un Dios “ordenador” más que “creador”[24].

Dios: completitud e infinitud

Para que un sistema lógico-matemático sea “completo” sin ser inconsistente debería tener infinitos axiomas. Tomamos un sistema axiomático cualquiera de suficiente complejidad que incluya la aritmética, y siempre, según el teorema de incompletitud de Gödel, va a haber alguna proposición indecidible que no se puede probar o refutar dentro del sistema. La verdad o falsedad de esta proposición deberá ser tomada como un nuevo axioma. Pero este procedimiento no tiene fin, ya que siempre encontraremos nuevas proposiciones indecidibles. Dios debería ir eligiendo cada vez que apareciera una de ellas de una forma iterativa infinita, para lo cual, Dios debería ser “infinito” para poder abarcar esta tarea. “Una mente infinita, como la de Dios, que pueda manejar todos los números a la vez, probablemente no tiene necesidad de axiomas.”[25]

Para nosotros, al ser seres finitos, Dios mismo sería una proposición indecidible, no pudiendo nunca probarle ni refutarle de forma conveniente.

Conclusión: si Dios es “completo”, será infinito y/o inconsistente

Dios, de existir, debería ser capaz de construir un sistema lógico-matemático completo. Como hemos visto, Dios no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica (incluso se podría decir que “crea” las leyes de la lógica) y construir un sistema completo asumiendo la inconsistencia. Otra forma sería crear un sistema completo mediante la introducción de infinitos axiomas, asumiendo la infinitud de Dios. Resumiendo: si Dios es “completo” (es decir, que puede construir un sistema así), debe ser “infinito” y/o “inconsistente” (capaz de manejar la inconsistencia y/o los infinitos).

Conclusiones finales

En los dos primeros puntos, “Dios Omnipotente” y “Dios Omniactuante” hemos tratado de evitar y resolver las contradicciones que surgen del uso del concepto de un Dios con poder infinito de alguna forma, aunque con limitaciones, no olvidando tampoco la importancia del libre albedrío del Hombre en estos aspectos. Son los dos “tipos” de Dios que más se parecen al de la teología cristiana, y nuestros resultados son similares: un Dios que es “Acto Puro” (junto con la no tan cristiana noción de “mundo eidético preexistente” donde las almas preexistentes realizan sus decisiones que se cristalizan en el Universo). Aunque la compatibilidad de la omnisciencia y presciencia divinas con el libre albedrío quedan sin resolver satisfactoriamente, pero el “Acto Puro” de Dios sumado al “mundo eidético preexistente” podrían ser una solución posible[26].

Sin embargo, en el tercer punto, “Dios Todopoderoso”, hemos intentado analizar qué ocurre si asumimos la contradicción y la infinitud con la mayor naturalidad posible. Aunque he de reconocer que en parte es un argumento cíclico, pues empezamos con la propiedad de un Dios “Todopoderoso” (que tiene implícita la “infinitud”), llegándose a la posibilidad de un Dios capaz de manejar la inconsistencia que, aunque implícita en la noción de ser “Todopoderoso”, aquí queda evidenciada. Pero ya dijimos al comienzo que los argumentos del artículo, al ser deductivos, darían lugar a tautologías, sólo que así se aclaran los conceptos (como en matemáticas, que en realidad no son más que una inmensa cantidad de tautologías útiles[27]).

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Notas:

[1] Se puede consultar el “Compendio de teología” de Tomás de Aquino como breve introducción a estos aspectos, no hace falta llegar a consultar la “Suma Teológica”.

[2] De manera similar a como Kurt Gödel tomo de base el “Principia Mathematica” de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead cuando formuló sus famosos teoremas de incompletitud que veremos más adelante.

[3] Este método de análisis lógico tiene su utilidad y valor aunque no sea plenamente empírico, puesto que las relaciones lógicas tienen contenido epistémico. Javier de Lorenzo, en el libro “La matemática: de sus fundamentos y crisis”, señala lo siguiente: “[Según Frege] las relaciones lógicas son epistemológicamente relevantes: si un pensamiento α es una consecuencia lógica de un conjunto de pensamientos π, es el conocimiento de los elementos de π lo que da firmeza al conocimiento de α.

A su vez, la independencia de α respecto a π muestra que hay alguna fuente de conocimiento que garantiza a α diferente a la fuente de conocimiento que garantiza a π. Y ello tiene consecuencias de carácter ontológico: si α se demuestra a partir de π, ello implica que α no agrega ningún compromiso ontológico nuevo al aportado por π, pero si α es independiente de π ello implica que lo que garantiza a π no se compone ontológicamente con lo que garantiza a α.”

En definitiva, tomar unas premisas y retorcerlas y manipularlas hasta ver a dónde llegan nos da información sobre las mismas y las aclara ontológicamente.

[4] Para los artículos e ideas que usaremos, ver “Obras Completas” de Kurt Gödel, Alianza Editorial.

[5] Estos tres niveles son tomados como tres premisas secundarias que serán distintas hipótesis de trabajo, y veremos las consecuencias de las mismas.

[6] Aquí tenemos que sacrificar la descripción tradicional de Dios como “Acto Puro”. Véase este texto de Tomás Alvira, “Significado metafísico del Acto y la Potencia en la filosofía del Ser”, para profundizar en estos conceptos desde el punto de vista tomista:

Haz clic para acceder a 01.%20TOM%C3%81S%20ALVIRA,%20Significado%20metaf%C3%ADsico%20del%20acto%20y%20la%20potencia%20en%20la%20filosof%C3%ADa%20del%20ser.pdf

[7] Hay un problema con esto y es si esta clase de omnisciencia, que incluiría la presciencia, violenta el libre albedrío. Premisa tácita muy importante en este punto. Se puede ampliar sobre este tema en el artículo “Libertad humana y presciencia divina en Boecio” de Manuel Correia M.: http://www.scielo.cl/pdf/tv/v43n2-3/art07.pdf

[8] Bart Kosko en su libro “Pensamiento borroso” describe un ejemplo cotidiano para un posible uso de la lógica difusa: “Sostened una manzana en la mano. ¿Es una manzana? Sí. El objeto que tenéis en la mano es uno de esos bultos del espacio-tiempo que pertenecen al que llamamos conjunto de las manzanas, el de todas las manzanas que haya habido donde y cuando sea. Dadle un mordisco; masticad ese trozo y tragáoslo. Vuestro tracto digestivo va separando las moléculas de la manzana. El objeto que tenéis en la mano ¿es todavía una manzana? ¿Sí y no? Pegadle otro mordisco. El nuevo objeto ¿es todavía una manzana? Otro mordisco más. Y otro y otro, hasta que no quede nada. La manzana pasa de serlo a no serlo, y a ser nada. Pero ¿cuándo ha traspasado la línea que separa el ser una manzana de no serlo?” Y añade: “Cuando tienes media manzana, tienes tanto una manzana como no la tienes. La media manzana impide una descripción de todo o nada. La media manzana es una manzana borrosa.”

En “Pensamiento borroso” se nos muestran las visiones antagónicas -o no, que en “lógica difusa” nada tiene por qué ser totalmente verdadero o falso- del pensamiento occidental (bivalente, dualista) y el oriental (multivalente y difuso o borroso): un “enfrentamiento” entre Aristóteles y Buda. Además, también nos hace ver la estrecha conexión entre el zen y la lógica difusa.

[9] http://books.google.es/books?id=aUvOAobbNBIC&pg=PA145&lpg=PA145&dq=godel+relatividad+filosofia+idealista&source=bl&ots=hTD90VcqFc&sig=nsYZ9s6fU0JGjcd9sZYQZXoLsRo&hl=es&ei=-XmXStjlHpbQjAf6ucSwBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5#v=onepage&q=&f=false

[10] http://www.elementos.buap.mx/num63/htm/21.htm

[11] “Un mundo sin tiempo”, Palle Yourgrau, pág. 151 (Colección Metatemas, Tusquets Editores, Barcelona, 2007. Traducción: Rafael de las Heras Alfonso.): “Gödel demostró matemáticamente que en el modelo de mundo que había construido, habría líneas de mundo temporales continuas conectando dos acontecimientos cualesquiera (…)”. “… Gödel concluyó que la estructura de espacio-tiempo en tal mundo sería claramente un espacio, no un tiempo, y por consiguiente, que t, la componente temporal del espacio-tiempo, sería de hecho otra dimensión espacial y no el tiempo como nosotros lo entendemos en la experiencia cotidiana.” Pág 173: “… [Para Gödel] el tiempo –y, por lo tanto, la velocidad y el movimiento- es sólo una ilusión. Pues si se puede volver a visitar el pasado, éste todavía existe.” “Para Gödel, si hay viaje a través del tiempo, no hay tiempo.”

[12] Palle Yourgrau, pág. 35: “siendo el tiempo absorbido por completo dentro de la geométrica de un hiper-espacio”.

[13] Para más información acerca del tiempo como “medida del cambio”, ver mi artículo “¿Una nueva dimensión temporal?”: https://angelrey.wordpress.com/2008/02/08/%C2%BFuna-nueva-dimension-temporal/

[14] http://es.wikipedia.org/wiki/Doctor_Manhattan

[15] Pongo aquí el extracto del relato “La línea de la vida” de Robert A. Heinlein en que se describe su idea del tiempo como una dimensión espacial más. Obviamente es ficción, pero resulta muy sugerente para dar una idea intuitiva de lo que se plantea en este apartado: “Supongamos que lo tomamos a usted como ejemplo. Se llama Rogers, ¿verdad? Muy bien, Rogers, usted es un fenómeno espaciotemporal cuya duración se extiende a través de cuatro dimensiones. No llega usted a un metro ochenta de altura, tiene usted unos cuarenta y cinco centímetros de ancho y quizá veinte de grueso. En el tiempo, hay tras de usted una cierta cantidad de este fenómeno espaciotemporal que se prolonga quizá hasta1916, y del cual vemos una sección transversal que forma un ángulo recto con el eje del tiempo, del grosor del presente. En su extremo más alejado hay un bebé, oliendo a leche agria y echándose encima el desayuno de su biberón. En el otro extremo yace, quizás, un hombre viejo en algún lugar de los años ochenta. Imaginemos este fenómeno espaciotemporal al que llamamos Rogers como un largo gusano rosado, continuo a través de los años, con un extremo en el seno de su madre y el otro en la tumba. Se extiende aquí junto a nosotros, y la sección transversal que podemos ver se nos aparece como un cuerpo normal y corriente. Pero esto es una ilusión. En este gusano rosado hay una continuidad física, que permanece a través de los años. En realidad esta continuidad física es un concepto común a toda la raza, ya que esos gusanos rosados surgen de otros gusanos rosados. De este modo la raza es como una enredadera cuyas ramas se entrelazan y dan nacimiento a otros vástagos. Tan sólo efectuando una sección transversal de esta enredadera podríamos caer en el error de creer que los vástagos son individuos independientes.”

[16] Obviamente, aquí usamos “tiempo” en un sentido intuitivo, no como una dimensión espacial más.

[17] “Como él mismo apuntó [[John Wheeler]], una consecuencia inquietante de la teoría especial de la relatividad de Einstein de 1905 es que el tiempo es relativo. Y no sólo relativo, sino “estático”, pues la otra cosa que la relatividad especial hizo con el tiempo [fue] unirlo con el espacio en la entidad tetradimensional del espacio-tiempo […]. Un resultado de esta nueva visión del espacio-tiempo es que el movimiento a través del tiempo, o movimiento de tiempo […], es reemplazado por el tiempo estático.” (p.182)

[18] Al modo que se dice que Dios es “Puro Acto”.

[19] En mi blog “Apuntes y digresiones” publiqué varios posts que son refundidos aquí en este apartado: “Dios, completitud e inconsistencia” (https://angelrey.wordpress.com/2008/05/13/dios-completitud-e-inconsistencia/), “La inconsistencia y la completitud en el Cristianismo” (https://angelrey.wordpress.com/2008/05/22/la-inconsistencia-y-la-completitud-en-el-cristianismo/) y “Dios, completitud e infinitud” (https://angelrey.wordpress.com/2009/01/01/dios-completitud-e-infinitud/)

[20] Ver “La trama oculta del Universo” de John D. Barrow para una descripción intuitiva del famoso teorema.

[21] Ver Wikipedia, “Principio de explosión”: http://es.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_quodlibet

[22] “La trama oculta del universo” de John Barrow.

[23] Para una idea de los conceptos basta con consultar el artículo de la Wikipedia de donde se ha extraído la cita: http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del

[24] Lo llamo “ordenador” mejor que “arquitecto” para no dar lugar a malinterpretaciones masónicas o de cualquier otro tipo que enturbien el debate”.

[25] “Un mundo sin tiempo”, Palle Yourgrau, pág. 80.

[26] Aprovecharé esta nota para exponer una serie de especulaciones más arriesgadas que bien podrían venir al caso. También es cierto que esta idea (la de Dios como “Acto Puro” junto a un “mundo eidético preexistente”) podría ser compatible con la teología cristiana al presuponer de algún modo un “pecado original” aunque no se haya tomado decisiones en vida nada más nacer (pero sí que se han tomado “antes” –fuera del tiempo– en el “mundo eidético preexistente”. El transcurrir del tiempo sería una ilusión en la “macroestructura cuatridimensional” que mencionábamos más arriba y que se habría conformado en la combinación conjunta y simultánea de las decisiones de las personas, animales y Dios. E incluso las propias leyes naturales y las consecuencias de las mismas –incluyendo desgracias como terremotos, etc.– serían una especie de “Creación conjunta” entre los creados y Dios al combinarse todas las decisiones, con lo que podría quedar resuelto el problema del “mal natural” si éste es englobado o imbricado en el de un “mal moral” en el mundo eidético preexistente (aunque esto recuerde al Calvinismo). Además, el libre albedrío estaría en el “mundo preexistente”, por lo que en la “macroestructura cuatridimensional”, o sea, en nuestro Universo, podría no haber “libre albedrío” y venir todo regido por leyes deterministas sin violentar nuestro libre albedrío previo del “mundo preexistente”. Así, el libre albedrío y el transcurrir del tiempo serían una ilusión en nuestro Universo, pero reales en el “mundo previo preexistente” (no importando que se llegara a demostrar en nuestro Universo que no existe el libre albedrío en experimentos como el de Libet –https://angelrey.wordpress.com/2008/12/29/%C2%BFdonde-estan-los-pensamientos-%C2%BFdonde-esta-el-yo/–, de controvertida interpretación, aunque esto dista mucho de ser falsable y “popperiano”…). En nuestro Universo actual sólo tendríamos la ilusión de la “conciencia” como una reminiscencia de ese estado de decisión del “mundo previo”, lo que puede recordar a la búsqueda de la “extinción del ego” en religiones y filosofías como el taoísmo, el zen o el sufismo (ver: http://www.ayahuasca-wasi.com/espanol/dharma/psicologia%20transpersonal.html y http://www.tendencias21.net/Oriente-y-Occidente-dos-aproximaciones-a-la-conciencia_a1091.html).

[27] “Teoremas matemáticos, tautologías y ajedrez”, de mi blog “Apuntes y digresiones”: https://angelrey.wordpress.com/2008/12/08/teoremas-matematicos-tautologias-y-ajedrez/

Relaciones lógicas y epistemología según Frege

En el libro de Javier de Lorenzo, “La matemática: de sus fundamentos y crisis” (sobre la «célebre» e interesantísima «crisis de fundamentos»), hay un par de párrafos que resumen una lúcida idea de Gottlob Frege (los subrayados y negritas son míos):

“[Según Frege] las relaciones lógicas son epistemológicamente relevantes: si un pensamiento α es una consecuencia lógica de un conjunto de pensamientos π, es el conocimiento de los elementos de π lo que da firmeza al conocimiento de α.

A su vez, la independencia de α respecto a π muestra que hay alguna fuente de conocimiento que garantiza a α diferente a la fuente de conocimiento que garantiza a π. Y ello tiene consecuencias de carácter ontológico: si α se demuestra a partir de π, ello implica que α no agrega ningún compromiso ontológico nuevo al aportado por π, pero si α es independiente de π ello implica que lo que garantiza a π no se compone ontológicamente con lo que garantiza a α.”

Necesidad de dos tipos de mentes científicas: escuela «detallista» y escuela «generalista»

Laurent Schwartz, que defiende la «hiperaxiomática» de «Bourbaki», justifica el propósito de esta corriente con estas palabras que vienen recogidas en el libro de John D. Barrow, «Teorías del Todo» (la negrita y subrayados son míos):

Las mentes científicas son esencialmente de dos tipos, ninguno de los cuales ha de considerarse superior al otro. Hay quienes gustan del detalle fino, y quienes sólo están interesados en las grandes generalidades … En el desarrollo de una teoría matemática, el camino es desbrozado generalmente por los científicos de la escuela «detallista», quienes tratan los problemas mediante métodos nuevos, formulan las cuestiones importantes que deben ser establecidas y buscan tenazmente soluciones sin importar el grado de dificultad. Una vez que éstos han realizado su tarea, las ideas de los científicos propensos a la generalidad entran en juego. Ellos examinan y seleccionan, conservando sólo material vital para el futuro de las matemáticas. Su trabajo es pedagógico, antes que creativo, pero es indudablemente tan vital y difícil como el de los pensadores de la categoría contraria … Bourbaki pertenece a la escuela de pensamiento «generalista».

Dos descripciones de la «paradoja de Russell»

Roger Penrose, en su libro «El camino a la realidad» resume en unas pocas líneas la «paradoja de Russell«:

«Esta paradoja procede del siguiente modo. Consideremos el conjunto R que consiste en «todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos». (Por el momento, no importa si uno está dispuesto a creer que un conjunto pueda ser miembro de sí mismo. Si ningún conjunto pertenece a sí mismo, entonces R es el conjunto de todos los conjuntos.) Planteamos la pregunta: ¿qué pasa con el propio R? ¿Es R un miembro de sí mismo? Supongamos que lo es. Entonces, puesto que pertenece al conjunto R de conjuntos que no son miembros de sí mismos, no pertenece a sí mismo después de todo: ¡una contradicción! La hipótesis alternativa es que no pertenece a sí mismo. Pero, entonces, debe ser un miembro de la familia de conjuntos que no son miembros de sí mismos, a saber, el conjunto R. Así pues, R pertenece a R, lo que contradice la hipótesis de que no pertenece a sí mismo. ¡Lo cual es una clara contradicción!»

Esta paradoja se puede expresar de otras formas. Entre las diferentes versiones que se pueden encontrar, veamos este ejemplo extraído del libro «El teorema de Gödel» de Ernst Nagel y James R. Newman:

«… BERTRAND RUSSELL construyó una contradicción dentro del sistema mismo de la lógica elemental, que es precisamente análoga a la contradicción primeramente desarrollada en la teoría cantoriana de las clases infinitas. La antinomia de RUSSELL puede ser enunciada del modo siguiente. Las clases parecen ser de dos tipos: las que no se contienen a sí mismas como miembros y las que sí se contienen. Una clase será llamada «normal» si, y solamente si, no se contiene a sí misma como miembro; en otro caso se la llamará «no normal». Un ejemplo de clase normal es la clase de los matemáticos, ya que, evidentemente, la clase misma no es un matemático y, por tanto, no es un miembro de sí misma. Un ejemplo de clase no normal es la clase de todas las cosas pensables, ya que la clase de todas las cosas pensables es, a su vez, pensable y, por consiguiente, un miembro de sí misma. Sea «N», por definición, la clase de todas las clases normales. Preguntamos si N mismo es una clase normal. Si N es normal, es un miembro de sí misma (pues, por definición, N contiene a todas las clases normales); pero, en ese caso, N es no normal, porque, por definición, una clase que se contiene a sí misma es no normal. Por otra parte, si N es no normal, es un miembro de sí misma (por la definición de no normal); pero, en ese caso, N es normal, porque, por definicion, los miembros de N son las clases normales. En resumen, N es normal si, y solamente si, N es no normal. De lo que se desprende que la afirmación «N es normal» es verdadera y falsa a la vez. Esta fatal contradicción se produce como consecuencia de utilizar sin espíritu crítico una noción aparentemente diáfana de clase, Posteriormente fueron encontrándose otras paradojas, construidas todas por medio de familiares y aparentemente convincentes modos de razonamienro. Los matemáticos acabaron comprendiendo que, en la tarea de desarrollar sistemas consistentes, la familiaridad y la claridad intuitiva son soportes harto débiles en que apoyarse.»

Sobre las diferencias de cardinalidad entre «mecánicas cuánticas»

Hay un artículo de Carlos M. Madrid Casado que habla de las posibles diferencias de cardinalidad entre la mecánica cuántica ondulatoria de Schrödinger (continua) y la mecánica cuántica matricial de Heisenberg (discreta). Pese a las pruebas de equivalencia matemática (que supondrían una equivalencia a nivel «instrumental»), el problema no se resolvería, sólo se desplaza a un nivel «ontológico» o «filosófico», surgiendo un problema de interpretación. Las dos teorías, aun válidas matemáticamente, filosóficamente son incompatibles, contradictorias en sus fundamentos. Ontológicamente seguiría habiendo una diferencia de cardinalidad entre ambas teorías y, con ello, no habría una equivalencia «física» total, sólo «matemática» (a nivel de «resultados» sí, pero no iguales en «esencia»).

Aquí lo tenéis, a ver qué os parece, se titula el artículo «Entre Física, Matemáticas y Filosofía»:

http://www.nodulo.org/ec/2009/n085p01.htm

– Extracto (siendo MM la Mecánica Matricial de Heissenberg y MO la Ondulatoria de Schrödinger, la negrita y subrayados son míos):

«Nuestro propósito es construir un argumento por reducción al absurdo contra el realismo estructural a partir de nuestro caso de estudio. Supongamos por hipótesis que los modelos matemáticos MM y MO son, respectivamente, isomorfos a las estructuras de los sistemas reales X e Y que aspiran a representar. En principio, si la relación entre modelo y realidad es de isomorfismo, las estructuras de X e Y deben ser también isomorfas, dado que MM y MO lo son (Teorema de Equivalencia de Von Neumann) y la composición de isomorfismos es isomorfismo (si X es isomorfo a MM, MM y MO son isomorfos y MO es isomorfo a Y, entonces X e Y son isomorfos). Ahora bien, realmente, ¿son la estructura de X y la estructura de Y isomorfas?

Si lo fueran, deberían tener la misma cardinalidad, como es matemáticamente bien conocido. Pero esto no es, ni mucho menos, así. La estructura de X es discreta, dado que el dominio de MM son los números naturales (lo que se asociaba a una concepción corpuscular del microcosmos). En cambio, como estudiamos, la estructura de Y es continua, dado que el dominio de MO son los números reales (lo que se asociaba con una concepción ondulatoria del microcosmos). MM y MO nos dibujan dos estructuras de la realidad no isomorfas. Resumiendo: MM y MO son matemática y empíricamente equivalentes, pero estructural y ontológicamente incompatibles. Contradicción.«

Números primos, criptología y codificación

En el libro «¿Por qué el mundo es matemático?» (1992) de John D. Barrow viene recogida una idea sobre codificación usando números primos y la idea de las «funciones trampilla». Llama la atención que un concepto tan sencillo pueda ser tan útil en criptología (la negrita, como acostumbro, es mía).

… Hemos distinguido entre operaciones que son computables y las que no lo son. Pero en la vida real, el ser computable quizá no sea muy útil si el programa que efectúa la computación requerida necesita un millón de años para llevarla a cabo. El mundo podría ser matemático, e incluso lleno de funciones computables, y aun así podría ser de una profundidad y complejidad tal que seamos incapaces de encontrarlas en nuestros ordenadores más rápidos incluso si estuvieran funcionando durante miles de años. De hecho, la existencia de problemas tan «difíciles» se explota en gran medida en el mundo moderno. Muchos códigos sofisticados utilizados para proteger secretos militares o comerciales se basan en codificaciones que son indescifrables en la práctica aunque no lo son en principio. Con esto queremos decir que sería necesario utilizar los ordenadores más rápidos durante miles de años para explorar todas las posibilidades de acceso al código (que para entonces, obviamente, ya habría sido cambiado).

Códigos como éste explotan la existencia de operaciones matemáticas llamadas funciones «trampilla», que son muy fáciles de ejecutar en una dirección pero prácticamente imposibles de ejecutar a la inversa, igual que es fácil caer por una trampilla pero no es tan fácil salir de nuevo. Por ejemplo, si tomamos dos números primos muy grandes, cada uno de ellos con cientos de cifras, y los multiplicamos entre sí, entonces ésta es una operación sencilla que un ordenador puede realizar en una fracción de segundo. Pero demos a un ordenador de cualquier tipo el número resultante de doscientos dígitos y pidámosle que encuentre los dos números primos en que se factoriza: podría ser necesario el tiempo de toda una vida para llegar a la respuesta. Consideremos la lección de este ejemplo; la naturaleza podría estar codificada de algún modo por las matemáticas y la codificación equivaldría quizá a alguna ley de la naturaleza. Sería posible que descubriésemos esta codificación utilizando sólamente algunos principios de simetría, consistencia y simplicidad, y aún seríamos incapaces en la práctica de aplicarla al revés para determinar la verdadera naturaleza de las cosas a partir de las apariencias codificadas.

Podemos ilustrar de qué forma se utilizan las funciones trampilla para codificación con un ejemplo sencillo. Supongamos que yo quiero enviarle un mensaje secreto. Mi «codificación» es bastante primitiva y consiste en colocarlo en un cofre metálico y poner un candado. La «decodificación» corresponde a abrir el cofre. ¿Cómo puedo hacerle llegar el mensaje sin enviarle la llave de alguna forma y hacerlo así vulnerable a terceras personas que están tratando de robarlo? A primera vista parece imposible, pero no lo es; yo cierro la caja con el candado y se la envío a usted, guardándome mi llave. Usted coloca también su propio candado en la caja, lo cierra, conserva su llave y me devuelve la caja con dos candados. Yo retiro mi candado con mi llave y le devuelvo a usted la caja, y entonces quita su candado y saca el mensaje. ¡Y ninguno de los dos necesita saber nada sobre la llave del otro! En la vida real se utilizan números en lugar de llaves. Codifique su mensaje en algún número grande, N, y multiplíquelo por su número primo grande secreto p para obtener el número Np. Transmítame Np y yo lo multiplico por mi número primo secreto q para obtener el nuevo número Npq. Yo le devuelvo a usted Npq y usted lo divide por p para obtener Nq que luego me devuelve. Yo lo divido por q y obtengo N que es el mensaje. En ninguna etapa necesito conocer p ni usted conocer q, y si cualquier otro intercepta los números compuestos que nos estamos enviando de ida y vuelta, se enfrentaría con la tarea de encontrar los divisores primos de cierto número gigantesco, lo que le llevaría decenas o centenas de años. Para evitar dicha posibilidad cambiamos simplemente nuestros números p y q con cierta frecuencia. Aunque esta idea es brillante y sencilla, sólo se viene utilizando desde hace menos de veinte años.

«Número»: esencia y origen de nuestro mundo ilusorio

En el prólogo de Pedro Guirao a «El Evangelio del Tao (Del libro sagrado Tao Te Ching)» se considera el concepto de número, de pluralidad como origen de un mundo ilusorio e irreal. Pongo aquí las líneas donde expresa esta idea (la negrita es mía):

[Lao Tzu* afirma], como todos los filósofos idealistas, que el mundo en que vivimos es irreal, es decir, que no tiene más realidad que la del argumento de una novela. Los múltiples acontecimientos de nuestra vida forman un espeso tejido de ilusiones que aprisionan nuestra alma y nuestra inteligencia, haciéndonos creer en la realidad de toda esa fantasmagoría. Los hechos de la vida no son sino una sucesión de sombras, como las que nos dan la ilusión de los personajes y escenas de una pantalla cinematográfica.

Esa ilusión de las cosas está originada por la noción de la pluralidad, es decir, del número. Lao Tzu admite con Pitágoras que los números constituyen la esencia y el origen de nuestro mundo de cosas fantasmagóricas. Si no pudiésemos concebir las cosas como separadas, distintas y coexistentes, nuestra concepción del Universo material desaparecería como por encanto.

(…)

La multiplicidad lleva, pues, aparejada la ilusión y la irrealidad. Mientras concibamos las cosas múltiples nuestro espíritu estará sumergido en un mundo de sombras fantasmagóricas.

* Nota: Lao Tzu o Lao Tsé.

Poincaré, números naturales y el principio de inducción completa

En «Poincaré. Matemático visionario, politécnico escéptico» de Javier de Lorenzo (Ed. Nivola) se pueden leer estas líneas (la negrita es mía) que marcan la importancia que daba el famoso matemático francés a los números naturales y al principio de inducción completa:

«… Poincaré encuentra que el número natural es la expresión de un rasgo humano básico: expresa la capacidad de reiterar una acción desde que la misma es posible. Lo que se tiene es la posibilidad de un acto, de una operación, y esa posibilidad se actualiza en cada ocasión. Si se tiene el número a, se tendrá la posibilidad de actualizar una operación, la de sucesor o uno más, y así obtener el número a + 1. Ello supone un acto, una operación que implica un reiteración uniforme, estable y que carece de límite alguno. (…)

… La posibilidad de la reiteración no origina tan solo la sucesión ordinal de los números naturales sino que, como manifestación de la capacidad de reiterar un acto (en este caso, el uno más) desde que este acto se hace posible, da paso a la inducción completa. Es la inducción completa el razonamiento propio demostrativo que también subyace a este acto reiterativo, reflejo de esa capacidad intrínseca de la razón humana. (…)

Las definiciones por recursión y la demostración por inducción completa se plasman lingüísticamente en juicios que, para Poincaré, son sintéticos a priori. Por ello el pensamiento matemático es autónomo, irreducible tanto a la lógica como a la experiencia.

(…)

… El principio de inducción completa, irreducible tanto al principio de contradicción como a la experiencia, constituye una de las plasmaciones de la potencia del espíritu que se sabe capaz de concebir la repetición de un mismo acto desde que este acto es posible y constituye el razonamiento matemático por excelencia.»

Breve descripción del teorema de Gödel

Paul Strathern en «Russell en 90 minutos» describe brevemente y con amenidad el teorema de Gödel:

«Segun la prueba de Gödel, todo sistema complejo, tal como las matemáticas, que trate de fundarse sobre axiomas está condenado a contener proposiciones aparentemente verdaderas cuya verdad o falsedad no puede ser probada dentro de él. Se tiene que introducir siempre otro axioma de fuera del sistema a fin de probar la verdad o la falsedad de tales proposiciones. Pero tan pronto como se introduce el nuevo axioma que las hace demostrables se generan nuevas proposiciones cuya verdad o falsedad no puede ser probada. En otras palabras, todo intento de basar las matemáticas en un conjunto de axiomas fundamentales está condenado al fracaso. Las matemáticas son incompletas por su propia naturaleza.»

Esta es una explicación del teorema de Gödel que, aunque deba precisarse más (ver en la Wikipedia para mayor profundidad), es bastante útil para entender los argumentos de mi blog en que hago uso de este teorema.

Russell contra Formalistas e Intuicionistas

Bertrand Russell, en «La evolución de mi pensamiento», capítulo 10:

«Principia Mathematica tuvo en los primeros momentos una acogida un tanto desfavorable. La filosofía matemática en el Continente estaba dividida en dos escuelas: los Formalistas y los Intuicionistas, y las dos rechazaban totalmente la derivación de las matemáticas de la lógica y se aprovechaban de las contradicciones para justificar su repudiación.

Los Formalistas, dirigidos por Hilbert, mantenían que los símbolos aritméticos son simples signos sobre el papel, vacíos de sentido, y que la aritmética consiste en ciertas reglas arbitrarias, como las reglas del ajedrez, con las cuales pueden manipularse tales signos. Esta teoría tenía la ventaja de que evitaba toda controversia filosófica, pero tenía la desventaja de que era incapaz de explicar la aplicación de los números al acto de contar. Todas las reglas de manipulación dadas por los Formalistas se verifican si el símbolo 0 se toma como significando cien, mil o cualquier otro número finito. La teoría es incapaz de explicar lo que quiere decirse con frases tan simples como ‘hay tres hombres en esta habitación’ o ‘hubo doce apóstoles’. La teoría es adecuada para hacer sumas, pero no para las aplicaciones del número. Puesto que son las aplicaciones del número lo que la hacen importante, la teoría de los Formalistas debe considerarse como una evasión insatisfactoria.

La teoría de los Intuicionistas, dirigidos por Brouwer, exige un examen más serio. El nervio de esta teoría es la negación del principio del tercero excluido. Sostiene que una proposición solamente puede tenerse por cierta o falsa cuando existe algún método para averiguar que sea una cosa u otra. Uno de los principales ejemplos es la proposición ‘hay tres sietes sucesivos en la determinación decimal de π’. Hasta donde ha podido precisarse el valor de π, no hay tres sietes sucesivos, pero no existe razón para suponer que no los haya después. Si en lo futuro apareciese un punto en que se dieran tres sietes sucesivos, la cuestión quedaría decidida, pero si no se alcanza tal punto, ello no prueba que no exista más adelante. Por tanto, aunque podríamos llegar a demostrar que hay tres sietes sucesivos, nunca podremos probar que no los hay. La cuestión tiene gran importancia en relación con el análisis. Las expresiones decimales con un número infinito de cifras se producen algunas veces de acuerdo con una ley que nos permite calcular tantos términos como queramos. Pero algunas veces (así hemos de suponerlo) no proceden de acuerdo con ley alguna. Sobre los principios generalmente aceptados, este último caso es infinitamente más corriente que el primero, y, a menos que admitamos tales decimales ‘sin ley’, toda la teoría de los números reales se viene abajo y, con ella, el cálculo infinitesimal y la casi totalidad de las matemáticas superiores. Brouwer afrontó la posibilidad de este desastre sin titubear, pero la mayor parte de los matemáticos la hallaron insufrible.

El problema es mucho más general de lo que parece en los anteriores ejemplos matemáticos. El problema es: ‘¿Tiene sentido decir que una proposición es cierta o falsa cuando no hay medio de decidir la alternativa?’ o, para expresar la cuestión en otra forma, ‘¿Debe identificarse ‘cierto’ con ‘comprobable’?’ Yo no creo que podamos hacer tal identificación sin caer en grandes y gratuitas paradojas. Tomad una proposición como la siguiente: ‘El día 1 de enero del año 1 antes de Cristo nevó sobre la isla de Manhattan.’ No existe método concebible por el que podamos descubrir si esta proposición es verdadera o falsa, pero parece absurdo mantener que no es ninguna de las dos cosas. No seguiré tratando este tema, ya que los discutí con detalle en los capítulos XX y XXI de Investigación sobre el significado y la verdad, al que volveré a referirme en otro capítulo. Entre tanto, debo suponer que la teoría de los Intuicionistas ha de ser rechazada.»

Vemos en este texto que Russell cree haber desmontado las bases de formalistas e intuicionistas con argumentos bastante serios. Aunque hay que recordar que el logicismo que defendía Russell tampoco quedaba libre de objeciones graves, puesto que el teorema de incompletitud de Gödel acabó con el sueño de reducir las matemáticas a la lógica. En el libro «El desarrollo de la lógica» de William y Martha Kneale se dice que, a partir de los importantes resultados de Gödel, carecería de objeto la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos apartados de la matemática.

Me llama la atención en la crítica que hace Russell a los intuicionistas (que son una variedad de los matemáticos constructivistas) cuando dice esto: «Hasta donde ha podido precisarse el valor de π, no hay tres sietes sucesivos, pero no existe razón para suponer que no los haya después«. Con esta idea da a entender que las matemáticas se «descubren», no se «inventan» -construyen-. Así, se puede llegar a la conclusión de que los «entes matemáticos» EXISTEN previamente en un «mundo mental» del que los tomamos. Al fin y al cabo, las proposiciones matemáticas «correctas» bajo un sistema axiomático lo son se hagan cuando se hagan las demostraciones de las mismas -incluso aunque no se realicen nunca-, no depende de que las «construyamos»: ¿o acaso los términos del número π varían con el tiempo, o el binomio de Newton cambia su desarrollo según el año en que lo ejecutemos?

Claro que cabría tener en cuenta qué significa «inventar», que tiene dos acepciones según un diccionario on line: «1. tr. Hallar o descubrir una cosa nueva o no conocida y 2. Imaginar, crear.» Y, en el mismo diccionario, las acepciones de «descubrir» que tienen que ver con lo que estamos tratando son: «1. tr. Encontrar, hallar algo desconocido; 2. Inventar; 3. Venir a saber algo que se ignoraba; 4. Alcanzar a ver, registrar; 5. Manifestar, dar a conocer lo que no es público; 6. tr. y prnl. Destapar lo que está cubierto.» Vemos relaciones evidentes, el fundamento de lo que significan ambas palabras parece el mismo. Edison, cuando «inventó» la bombilla, se puede decir que «descubrió» que con un filamento de bambú carbonizado montado en el tubo central de cristal de una lámpara incandescente en la que se ha hecho el vacío hacía que dicho filamento alcanzara la incandescencia durante largo tiempo sin fundirse. Entonces, ¿qué es «inventar» sino «descubrir»? En todo caso habría una gradación de complejidad entre ambas palabras, siendo más elaborado «inventar» que «descubrir», pero el fundamento, la esencia es la misma en ambos casos.

¡Leed a Heinlein, leed a Heinlein!

Laplace decía a los matemáticos: «Leed a Euler, leed a Euler. Él es el maestro de todos nosotros.»

A los escritores de ciencia ficción se les podría decir: «Leed a Heinlein, leed a Heinlein. Él es el maestro de todos nosotros.»

Cálculo y contradicciones

Ludwig Wittgenstein, en «Observaciones sobre los fundamentos de la matemática» -«Remarks on the Foundations of Mathematics-3rd edition»- (Alianza Editorial), en la Parte III (1939-1940):

«81. (…)

Imaginemos el caso siguiente: Las gentes de una tribu determinada sólo pueden calcular oralmente. Todavía no conocen la escritura. Enseñan a sus hijos a contar en el sistema decimal. Entre ellos son frecuentes los errores al contar, hay números que se repiten o se dejan sin que ellos lo noten. Pero un viajero graba fonográficamente su modo de contar. Les enseña la escritura y a calcular por escrito y les muestra, entonces, cuán a menudo se equivocan al calcular sólo oralmente. -¿Han de admitir esas gentes, ahora, que antes no calculaban propiamente? ¿Que sólo andaban a tientas, mientras que ahora caminan? ¿No podrían, incluso, decir: que antes les iban mejor las cosas, que su intuición no tenía que cargar con el material muerto de la escritura? Con máquinas no puede atraparse el espíritu. Dicen, por ejemplo: «Sí, como afirma tu máquina, antes repetíamos cifras, seguramente estaba bien como estaba.»

(…)»

«82. (…)

Si yo estuviera empeñado, por ejemplo, en producir contradicciones con fines estéticos, digamos, entonces aceptaría sin reparos la prueba inductiva de consistencia y diría: carece de toda esperanza el querer producir en este cálculo una contradicción; la prueba te muestra que eso no funciona. (Prueba en la teoría de la armonía.)»

Desde mi punto de vista, las matemáticas se pueden ver como «diseños»: tomamos diferentes ideas y los vamos, en cierta forma, «construyendo». Al fin y al cabo, nosotros al operar «construimos» relaciones: podemos escoger entre representar un «4» como un «2+2», un «1+3» o lo que sea, pero la «operación escogida» la plasmamos nosotros (cabe pensar que todas esas igualdades -relaciones- están ahí desde siempre, somos nosotros quienes elegimos una u otra de las ya existentes de un «mundo mental matemático» como el que imagina Roger Penrose; lo mismo puede pasar con los axiomas). En principio, podríamos formular cualquier relación, por ejemplo, «2+2=5», o «3+4=576»; ya que en un primer momento bien pudiéramos no decidir tomar el «principio de no contradicción». Luego podemos escoger añadir un sistema axiomático en el que incluyamos el principio de no contradicción y esas relaciones dejarían de ser válidas. Y así, poco a poco, ir añadiendo o quitando axiomas según los necesitemos para algo que queramos hallar, para desarrollar ideas que se nos ocurran o para que se ajuste a lo observado experimentalmente en un sistema matemático que dé cuenta de algún proceso físico.

Bajo esta forma de verlo, Gottlob Frege, en sus «Las Leyes Fundamentales de la Aritmética» («Die  Grundgesetze der Arithmetik»), aunque esté desarrollando -tal y como le avisó Russell por carta, formulando la «paradoja de Russell»– un sistema inconsistente, éste sería «posible y existente» si no tomamos el principio de no contradicción (eso sí, un sistema inconsistente no tiene demasiado interés para los matemáticos ya que, por el «principio de explosión», de una contradicción se puede derivar como «cierta» cualquier cosa). Es decir, los sistemas formales -consistentes- no son más que algunos casos particulares -con principio de no contradicción, etc.- de los múltiples que podemos escoger de un «mundo mental»; cogemos ideas -o las «creamos» imaginándolas- de forma que se puede decir que las «construimos»; y, aunque esté presente el teorema de incompletitud (o incompletud) de Gödel, como podemos «añadir» axiomas según los necesitemos o queramos (la completitud, aunque deseable, no resultaría imprescindible).

¿Pueden acaso estas ideas -más o menos acertadas- servir para tratar de trascender las posturas de formalistas, constructivistas y logicistas en un nuevo marco conceptual filosófico que concilie y englobe las tres posturas lo más cordialmente que se pueda?

Dios, completitud e infinitud

Kurt Gödel es famoso por sus aportaciones revolucionarias a la lógica matemática (como curiosidad cabe mencionar que llegó a formalizar lógicamente el argumento ontológico de San Anselmo). Douglas R. Hofstadter, en su famoso y «gran» libro -en todos los sentidos- «Gödel, Escher, Bach», resume en una corta frase la aportación más destacada de Gödel:

«Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles«.

Este es el llamado «teorema de incompletitud de Gödel« que lleva a afirmar que no pueden existir ‘sistemas lógico–matemáticos completos‘, «que permitan definir los números naturales como un conjunto« (tal y como se precisa en la Wikipedia), fundamentados en un ‘sistema axiomático finito’ sin que sean a su vez inconsistentes -con lo que, tomando por válido el principio de explosión, se deduciría cualquier cosa-. Es decir, para que un sistema lógico-matemático sea «completo» (que no contiene afirmaciones que ni se pueden demostrar ni refutar) sin ser inconsistente debería tener infinitos axiomas; y además, para poderse aplicar el teorema de Gödel, debería ser un sistema en el que haya algún procedimiento efectivo que decide si una cierta declaración es un axioma (como explica en un artículo Eduardo Piza Volio, un «procedimiento efectivo» es una lista de instrucciones o un algoritmo que no requiera de ninguna ingeniosidad para ser ejecutado). Esto es imposible para el ser humano, pues es finito, pero no sería así para un supuesto ser todopoderoso: Dios. Un Ser al que, en principio, los humanos no podemos demostrar ni refutar de forma concluyente (siendo su existencia para nosotros, aparentemente, una «proposición indecidible«, con lo que nuestra lógica y conocimiento no sería completo).

Dios -si existe- debería ser capaz de construir un sistema lógico-matemático completo. En mi post «Dios, completitud e inconsistencia», proponía que Dios, al construir este sistema, debería ser capaz de contradecirse, de manejar la inconsistencia en virtud de su omnipotencia. Además, afirmo que si -de existir- Dios es omnipotente o todopoderoso, no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; de hecho, se podría decir que Dios «crearía» las leyes de la lógica. Pero ahora bien, también podría construir un sistema completo mediante un número infinito de axiomas, lo que implicaría la «infinitud» de Dios (esto recuerda al Dios y el Infinito Absoluto del que habla Georg Cantor ). Resumiendo: si Dios es completo, debe ser infinito y/o inconsistente.

El principio del tercero excluido, la reducción al absurdo y las demostraciones de la inexistencia de Dios

La reducción al absurdo, que tanto le gustaba a Euclides, es una de las más poderosas armas de un matemático. Va más allá que cualquier gambito en el ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer en sacrificio un peón o incluso una pieza mayor, pero un matemático ofrece el juego.

Godfrey Harold Hardy (1877-1947), matemático británico,
“A Mathematician’s Apology”

El principio lógico del tercero excluido dice lo siguiente: Toda proposición es verdadera o falsa, y entre estos dos valores de verdad no se admite nada intermedio o “tercero”; o, en términos semánticos, si dos proposiciones son contradictorias, al menos una de ellas es falsa. Muchos consideran que este principio es derivado del principio de identidad, ya que una cosa es o no es (versión ontológica) o ente dos cosas contradictorias no cabe término medio (versión lógica).

Brouwer -fundador de la corriente del intuicionismo en las matemáticas-, en cambio, objeta que el principio del tercero excluido es una abstracción que resulta de la experiencia respecto de objetos finitos y que se extendió a aquellos infinitos sin justificación.

Por su parte, Łukasiewicz y Tarski construyeron una lógica trivalente «cuyos valores de verdad son lo verdadero, lo falso y lo posible». «En esta lógica no tiene lugar el principio de tercero excluido, en el sentido de que el principio no es expresable con los símbolos de la lógica misma y no constituye un teorema de ésta. En la lógica intuicionista de Heyting existen tres valores de verdad: verdadero, falso e indeterminado, lo que implica la renuncia a la demostración recurriendo a la reducción al absurdo.»

Si renunciamos a la reducción al absurdo, hay muchas demostraciones que no podrían realizarse (entre ellas, muchas de las demostraciones de la inexistencia de Dios -tal y como especulo en mi post anterior-). Por tanto, aunque las demostraciones conocidas de la existencia de Dios no son concluyentes, es cierto que las de la inexistencia de Dios tampoco lo son, al no ser válidas para absolutamente todo tipo de lógica matemática (y es posible que Dios, de existir, haga uso de este tipo de lógicas -o incluso de otras que ni siquiera seamos capaces de imaginar-).

Todas las demostraciones de inexistencia de Dios que conozco se basan en técnicas como la de «reducción al absurdo» o la de «contradicción», luego no hay que considerar como demostraciones absolutamente certeras aquellas que usen estas técnicas (sería interesante reflexionar sobre la posibilidad de usar otras técnicas aparte de éstas, puesto que se ha visto que son limitadas). Por tanto, las «demostraciones» -que ya no son tales, así que mejor llamarlas «argumentos»- acerca de la existencia o no de Dios se deberían ver más como una tentativa por nuestra parte de llegar a entender cómo es Dios y por qué es así -la «esencia» de Dios y su forma de actuar y atributos-, y como análisis de las dificultades filosóficas y lógicas sobre cómo sería Dios -si existe- bajo «diversas condiciones y definiciones», que como demostraciones absolutamente irrefutables (por ejemplo, se pueden hacer argumentaciones acerca de la existencia de Dios partiendo de puntos de vista distintos, con «condiciones» diferentes: tocando el aspecto cosmológico –como hacía Santo Tomás de Aquino-, con un argumento ontológico -como hacía San Anselmo– o viéndolo como un problema teleológico).

Circunscribiéndonos a la lógica formal aristotélica, quedaría por ver el método «directo» de demostración, fundamentado en un sistema axiomático. Pero todas estas argumentaciones acabarían por reducirse esencialmente a dos posibilidades de carácter tautológico: 1) «Dios existe, por tanto existe»; y 2) «Dios no existe, por tanto no existe». Con ello, desde la lógica aristotélica no podemos extraer nada nuevo, derivando la cuestión a un problema de «verificabilidad de los axiomas«.

Como se acaba de ver, el hecho de negar el principio del tercero excluido, aparte de llevar a la aparición de unas interesantes y peculiares lógicas no clásicas –como la trivalente que hemos mencionado-, sirve para negar que las demostraciones de la inexistencia de Dios sean válidas para todo sistema lógico (en todo caso se pasaría el debate a los argumentos en defensa de una u otra opción para tratar de detectar cuál es la más probable, pero difícilmente «certera»).

Refutación de una demostración matemática de la Inexistencia de Dios

He encontrado un intento de «demostración matemática de la Inexistencia de Dios» que me gustaría comentar.

Aquí está lo principal del artículo en que se trata el tema:

Los creyentes han escogido como cierta una cosa (a Dios) de entre todas las cosas que podrían existir, pero que no han sido percibidas de ningún modo.

De ahora en adelante, denominaremos SUPERCONJUNTO a «el conjunto de cosas que podrían existir pero que no han sido demostradas».

Dentro del SUPERCONJUNTO están incluidos los 2 conjuntos siguientes:

– Cosas que no existen (luego no se han demostrado)
– Cosas que existen (pero no se han demostrado)

Las «cosas que no existen» es un conjunto infinito (creo que esto es evidente).
Las «cosas que existen» es un conjunto finito (también evidente).

Estos son los dos axiomas sobre los que se edifica la argumentación. Si alguno no fuera cierto, el razonamiento perdería todo su fundamento.

DESENLACE:

Los creyentes han elegido el elemento «Dios» de entre todos los elementos del SUPERCONJUNTO, con la esperanza de que esté incluido dentro del subconjunto «cosas que existen» y por tanto fuera del subconjunto «cosas que no existen».

Resumiendo, han escogido un elemento de un conjunto formado por 2 subconjuntos: uno finito y otro infinito.

¿Qué probabilidades hay de que el elemento escogido esté dentro del subconjunto infinito?
Según la teoría de probabilidades, es fácilmente demostrable que el elemento escogido pertenecerá al conjunto infinito con un 100% de probabilidad.

Por tanto, existe un 0% de probabilidades de que «Dios» pertenezca al conjunto «cosas que existen». Es decir, una persona que afirma que «Dios existe», se equivoca con toda probabilidad.

Matemáticamente, Dios no existe.

Posteriormente, el autor, Eduardo Couselo (duducou@hotmail.com), indica que este artículo no debe interpretarse como una demostración pretenciosa de la inexistencia de Dios, sino como un artículo curioso que ayuda a ver el tema desde un punto de vista distinto y nuevo, que intenta trasladar la discusión sobre la existencia de Dios a la discusión sobre la veracidad de los axiomas. Si tales axiomas se consideran ciertos, el razonamiento es impecable.

Se podría estar de acuerdo con esta afirmación considerando válida en todo caso la lógica formal aristotélica usada habitualmente (cosa que he puesto en duda en mi blog), pero no hay que olvidar que cuando entran en juego magnitudes infinitas la argumentación se vuelve más riesgosa y endeble (con lo que el razonamiento podría no ser tan «impecable») y hay muchas consideraciones a tener en cuenta. De hecho, Gauss llega a decir lo siguiente:

Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo, lo que en matemáticas nunca se permite. El infinito es simplemente una forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos rangos de aproximación indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite incrementarse sin restricción.

De todas formas, querría hacer un apunte en lo que se refiere a la veracidad de los axiomas; en concreto el segundo: Las «cosas que existen» es un conjunto finito. No sabemos exactamente si el universo es finito o infinito, y aún en el caso de que se diera lo primero, cabría preguntarse si no pudiera haber «algo» que, existiendo, no estuviera contenido entero en él (por no mencionar que puedan existir universos paralelos no conectados con el nuestro).

Couselo también dice que su artículo va más allá de demostrar la inexistencia de Dios. Lo que demuestra es que al dar por existente algo, debe hacerse en base a algún indicio o prueba. Estas líneas que escribo no pretenden llegar a una respuesta concluyente absoluta sobre la existencia o no de Dios, sólo considerar ciertos  aspectos del tema y algunas posibilidades desde un punto de vista un tanto estricto (si hay algún «resquicio» que pueda dar lugar a algo, procuro considerarlo). Por ello, creo hay que decir que el hecho de que no tengamos evidencia empírica de algo no implica su inexistencia. Incluso habría que replantearse qué es o qué quiere decir que algo «exista», si es necesario que algo se dé en el mundo físico para que se pueda decir que exista (pues, por ejemplo, los pensamientos que tenemos no tienen por qué reproducirse materialmente y, pese a ello, «existen» -entendiendo por pensamientos «aquello que se piensa», no los impulsos bioeléctricos cerebrales en sí mismos:  algo así como el mundo platónico de las ideas-).

También cabe añadir que si suponemos que podamos redefinir a Dios como un Ser capaz de manejar la inconsistencia, la contradicción (como hice hace un tiempo: ver preferentemente mi post «Dios, completitud e inconsistencia»), con argumentos lógico–matemáticos formales no se podría demostrar la inexistencia de Dios al no poderse considerar válidos ya que estarían entrando en un espacio al que no deben ni pueden acceder (un sistema lógico formal no puede tratar aquello que está fuera de la lógica formal, puesto que la lógica formal exige ciertos principios que no se verificarían en un dominio en el que, por ejemplo, no se cumpla un principio tan fundamental como el de no contradicción -muchas demostraciones de la inexistencia de Dios hacen uso de técnicas como la de reducción al absurdo o la de contradicción-). El problema pasaría a ser de carácter ontológico más que lógico: Dios es o no es, existe o no, independientemente de las tentativas de demostración o refutación (es decir, con nuestros sentidos, las herramientas de que disponemos y nuestras limitaciones por estar en el mundo terrenal, si Dios existe, existiría aunque no se pudiera demostrar -siempre y cuando no tuviéramos una prueba de Él empírica, perceptual o sencillamente una «revelación divina«, que devolvería el problema al ámbito de la creencia personal y de la Fe-; y es más, podría darse que Dios no exista y no se pudiera refutar su existencia, ya que necesitaríamos ser nosotros mismos omniscientes para afirmarlo); y las propiedades que pudiera tener en caso de que exista sólo podemos intuirlas o suponerlas, ya que nuestras mentes no todopoderosas -limitadas- no pueden, en principio, aprehender todo esto por entero.

Por último, sería conveniente señalar que con el zen y los koans de sus escritos quizá se pudiera llegar a tener la llave a al menos una mínima comprensión o percepción de estas cuestiones acerca de las contradicciones y la esencia del mundo (que supuestamente se alcanzaría con el satori o «iluminación»).

Las «medias manzanas» y la lógica difusa

En mi post «El problema del mal» hago mención de la «lógica difusa« (o «borrosa») que admite a las «medias manzanas«, que puede trabajar con este tipo de conceptos. Me gustaría enseñar de forma aproximada su fundamento con un ejemplo en palabras de Bart Kosko:

«Sostened una manzana en la mano. ¿Es una manzana? Sí. El objeto que tenéis en la mano es uno de esos bultos del espacio-tiempo que pertenecen al que llamamos conjunto de las manzanas, el de todas las manzanas que haya habido donde y cuando sea. Dadle un mordisco; masticad ese trozo y tragáoslo. Vuestro tracto digestivo va separando las moléculas de la manzana. El objeto que tenéis en la mano ¿es todavía una manzana? ¿Sí y no? Pegadle otro mordisco. El nuevo objeto ¿es todavía una manzana? Otro mordisco más. Y otro y otro, hasta que no quede nada. La manzana pasa de serlo a no serlo, y a ser nada. Pero ¿cuándo ha traspasado la línea que separa el ser una manzana de no serlo?»

«Cuando tienes media manzana, tienes tanto una manzana como no la tienes. La media manzana impide una descripción de todo o nada. La media manzana es una manzana borrosa.»

Estos extractos son de su libro «Pensamiento borroso», un texto bastante interesante en el que se nos muestran las visiones antagónicas -o no, que en «lógica difusa» nada tiene por qué ser totalmente verdadero o falso- del pensamiento occidental (bivalente, dualista) y el oriental (multivalente y difuso o borroso): un «enfrentamiento» entre Aristóteles y Buda. Además, también nos hace ver la estrecha conexión entre el zen (ver mi post «Zen y samuráis: alcanzar el desapego») y la lógica difusa.

Esto lleva a pensar en la necesidad de comprender totalmente este tipo de lógica y las filosofías y religiones orientales para tratar de llevar a buen puerto los diálogos interreligiosos que se realizan. Al fin y al cabo, Santo Tomás de Aquino tuvo que comprender plenamente a Aristóteles para «encajar» su filosofía en el cristianismo y hacer una síntesis; un cristiano debería entender plenamente el budismo -por ejemplo- si quiere tratar de llegar a integrarlo en él (teniendo en cuenta las distancias y diferencias de nivel –cualitativas y cuantitativas– que hay entre una «filosofía» –como es la aristotélica– y una «religión» –como es el budismo-).

No es sencillo; pero como rotundamente afirma el propio Bart Kosko, cuanto más de cerca se mira un problema en el mundo real, tanto más borrosa se vuelve su solución.

Fundamentos axiomáticos

En el libro «Mecánica Teórica» de Murray R. Spiegel, en el Capítulo 1, viene un esquema de lo que son las bases de un sistema axiomático. Lo aplica a la Mecánica, pero serviría para cualquier «forma de pensamiento axiomático» (un tema que he tocado anteriormente en el post «Teoremas matemáticos, tautologías y ajedrez».):

FUNDAMENTOS AXIOMÁTICOS DE LA MECÁNICA

Un desarrollo axiomático de la mecánica, como para cualquier otra ciencia, debe contener los siguientes elementos básicos:

1. Términos o conceptos no definidos. Es clara su necesidad, ya que en último término cualquier definición debe basarse en algo que no está definido.

2. Afirmaciones no comprobadas. Hay enunciados fundamentales corrientemente expresados en forma matemática, de los cuales se espera que lleven a descripciones válidas de un fenómeno en estudio. En general, estos enunciados, llamados axiomas o postulados, se basan en observaciones experimentales o abstracciones de ellas. En tal caso son llamados leyes.

3. Términos o conceptos definidos. En estas definiciones se emplean los términos o conceptos no definidos.

4. Afirmaciones demostradas. Son llamadas teoremas y se demuestran a partir de definiciones y axiomas.

Un ejemplo de la «forma de pensamiento axiomático» está dado por la geometría euclidiana en la que punto y recta son conceptos no definidos.

Unas palabras de una persona a la que debemos mucho por sus numerosos libros didácticos los estudiantes de ciencias e ingenierías; sirva este post en honor suyo.

Reflexiones filosófico-matemáticas sobre los viajes en el tiempo

Nota preliminar: Estas «Reflexiones filosófico-matemáticas sobre los viajes en el tiempo« sirven de complemento a mi post «¿Una nueva dimensión temporal?», aunque escribí gran parte de estas reflexiones antes de éste. Por ello, pese a que sea un tanto largo, pueda quedar poco riguroso y de explicación redundante en ciertas partes o confuso (confiando además en no introducir errores u omitir aspectos importantes, puesto que el tema a tratar puede llegar a ser abstruso), voy a mantenerlo prácticamente igual a como lo tenía en borrador, salvo ciertos añadidos y pequeñas correcciones. No son más que el mero esbozo de unas cuantas ideas sobre las que estuve meditando (aunque también enlazo a links de páginas y foros donde hay quienes están también realizando sus aportaciones acerca de estas cuestiones). Estos temas siempre tienen un alto interés entre ciertos grupos de gente, pero el enfoque sigue teniendo un cariz especulativo más que científico (al no ser empírico).

REFLEXIONES FILOSÓFICO-MATEMÁTICAS SOBRE LOS VIAJES EN EL TIEMPO

Observación previa: En estos párrafos no consideramos de una forma plena las llamadas líneas temporales flexibles o mutables, que permiten cambios de acontecimientos históricos en ellas, puesto que las considero inviables por la razón siguiente, que repetiré de nuevo en el texto: una línea temporal que ya ha existido no tendría por qué desaparecer por un viaje en el tiempo, puesto que si ha existido en algún momento, ya se puede considerar que existe, y si desapareciera no tendría sentido y sería contradictorio decir que no existe si ya ha existido; resumiendo: lo que en un momento y lugar ha existido, de alguna forma tiene que seguir existiendo en algún momento y/o lugar, ya que si no nunca habría existido. Pero una aclaración, sí que admito que una línea temporal puede cambiar en un intervalo finito de ella siempre que no afecte al resto -ni al pasado, ni al futuro-; es cierto que realmente la línea cambiaría aunque la variación fuera mínima, pero hacemos esta suposición o abuso de notación para simplificar los razonamientos.

Respecto al viaje en el tiempo con una sola línea temporal (sin universos paralelos):

Consideraciones:

– El tiempo es una medida del cambio; un segundo es igual a 9.192.631.770 períodos de radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), medidos a 0 K.

– “La energía ni se crea ni se destruye, solamente se transforma”. Ésta es la formulación coloquial del primer principio de la termodinámica, por ello, sabiendo que el tiempo es considerado como una medida del cambio, se supone que la energía total de nuestro universo se mantiene constante a lo largo del tiempo.

– También sabemos, por la ecuación que nos reveló Einstein (E = mc²), que la energía y la masa son equivalentes, pudiendo llamar al conjunto de ambos de nuestro universo “masa-energía total”, que será constante.

Según éstas consideraciones previas, la “masa-energía total” respecto al tiempo tendrá una imagen de la siguiente forma:

Figura-1

Imaginemos ahora que un viajero en el tiempo se dirige al pasado y permanece ahí durante un cierto tiempo, después, regresa al momento justo en que se encontraba. En la presente suposición tomamos que no hay universos paralelos en ningún momento, ni el viajero crea ninguno cuando viaja hacia atrás al cambiar algo, sino que la línea temporal es una y sólo una.

Cuando ese viajero esté en el pasado, el universo durante todo ese tiempo habrá aumentado su “masa-energía total” con la propia del viajero y lo que traiga con él. Al volver, suponemos que el viajero trae consigo toda la masa con la que viajó y cualquier energía que dejara durante su estancia en el pasado (fuerzas de rozamiento, etc.). En definitiva, imaginamos que, cuando el viajero regresa, la entropía total del universo queda igual que cuando llegó (si no suponemos esto, la línea temporal única que conjeturamos en la observación previa no podría darse, pues todo el universo a partir de la vuelta del viajero al futuro tendría una “masa-energía total doble prima” –debida a las fuerzas de rozamiento y demás que dejemos en el pasado–, mayor que la primigenia pero menor a la que habría mientras estuviera el viajero; con lo que, al llegar al momento futuro en que el viajero realiza su viaje al pasado, el universo tendría más masa que cuando realmente hizo ese primer viaje, llegando a una contradicción. Además, al volver el viajero, bajaríamos la “masa-energía total” del universo, pues nos habríamos dejado parte de ella en el pasado, aunque es verdad que podría compensarse con esta misma).

Quedaría una gráfica como ésta:

Figura-2

Donde <t1> y <t2> son los tiempos de llegada al pasado y vuelta al presente del viajero, <M-Et> es la “masa-energía total” previa y <M-E´> la “masa-energía total” que tiene esta línea temporal durante el tiempo en que el viajero está en el pasado. La función “masa-energía” frente al tiempo pasa a ser discontinua cuando se produce el viaje, con dos saltos finitos.

Pondré ahora unos añadidos extraídos de un foro, que contienen las mismas ideas desde una óptica ligeramente distinta: <<Como la entropía siempre aumenta con el tiempo, un salto temporal al pasado supondría un descenso de la entropía. Y eso es algo que no permite la segunda ley de la termodinámica. Por lo tanto, el viaje al pasado es imposible. Según la termodinámica, en el principio del universo la entropía era mínima, y el universo morirá cuando la entropía sea máxima.

Un salto temporal al futuro de un cuerpo significaría un aumento drástico de la entropía del sistema. Consideremos como sistema un habitáculo (la cápsula del tiempo). Dentro de ella cambia el tiempo de forma brusca (aumenta la entropía bruscamente). Pero esto no es exactamente posible porque en la práctica no existen sistemas totalmente cerrados (excepto el propio universo ya que fuera de el no hay ni tiempo ni espacio, es decir, no hay NADA, por eso el propio universo es el único sistema aislado totalmente) Como en la práctica no existen sistemas totalmente cerrados, ese aumento de entropía se difundiría por todo el universo, al igual que se difunde el agua por un recipiente o el calor por una habitación. En definitiva: todo el universo notaría el cambio temporal. Es decir aumentaría la entropía de todo el universo, que es lo mismo que decir que todo el universo entero habría realizado el salto temporal. Esto supone que si hiciéramos un viaje al futuro, «arrastraríamos» a todo el universo con nosotros en este viaje. Al final del viaje temporal resulta que no habríamos hecho ningún viaje puesto que todo el universo lo habría hecho.>>

<<Cuando hablo de viaje en el tiempo me refiero a un «salto» en el tiempo. Es decir, que pasas de un tiempo A a un tiempo X sin pasar por los tiempos que hay entre medio (B,C,D,…). Es decir, que no hablo de los viajes en el tiempo causados por velocidades relativistas, que no considero como auténticos viajes en el tiempo si no simplemente cambios en la velocidad del propio tiempo»>>

Retomando de nuevo la argumentación, si realizamos la integración de la función 1 (Figura-1) y de la función 2 (Figura-2), el área bajo la curva de la gráfica 2 es mayor que el de la gráfica 1. Este resultado violentaría el primer principio de la termodinámica, pues estaríamos creando energía. Iterando este proceso podríamos crear energía indefinidamente. Tendríamos una contradicción, con lo que por el razonamiento por reducción al absurdo podríamos colegir que no es posible el viaje en el tiempo (al menos según las condiciones dadas) si no se pueden crear universos o líneas paralelas que quizá corrijan este efecto.

Ahora bien, éstas gráficas recuerdan a la función salto de Heaviside, que en realidad es una distribución, no una función (pese al nombre que la damos), con lo que en las discontinuidades podríamos no estar teniendo en cuenta algo que corrigiera ésta aparente paradoja.

Otro caso: Suponiendo que el viajero, una vez realizado el viaje, no regrese, nos quedaría una gráfica análoga a la de la Figura-2, sólo que en este caso sólo habría un salto -no habría <t2>- y la “masa-energía total” se quedaría en el nivel <M-E´>, habiéndose creado energía igualmente, y seguiríamos teniendo nuestra contradicción.

Apunte final: En todos estos casos no estamos teniendo en cuenta que, cuando el viajero se dirija hacia atrás en el tiempo, el futuro se cambiaría necesariamente: aún por cualquier mínima variación, la línea temporal ya sería diferente, con lo cual en realidad ya estamos creando un universo paralelo (destruyendo o no la línea temporal original). En mi opinión, una línea temporal que ya ha existido no tendría por qué desaparecer por un viaje en el tiempo, puesto que si ha existido en algún momento, ya se puede considerar que existe, y si desapareciera no tendría sentido y sería contradictorio decir que no existe si ya ha existido. Por tanto, es posible que, si se puede viajar en el tiempo, estos viajes generen nuevos universos paralelos para no hacer desaparecer al original. Tendríamos problemas de nuevo, ya que al generar nuevos universos estamos creando nueva “masa-energía” (y en mucha mayor cantidad que en los pasados casos considerados). Una solución posible sería que con cada nuevo universo generado se genere otro a su vez con “masa-energía” negativa, llegando, si fundiéramos ambos universos, a una “suma cero”.

Con estos argumentos se podría afirmar (si no estoy pasando por alto algo que invalide el resultado) que no es posible el viaje en el tiempo teniendo sólo en cuenta una única línea temporal.

Es cierto que los procesos de viaje los suponemos instantáneos y sin intercambio de energía, y en realidad habría que tenerla en cuenta, pero no sabemos cómo van a ser esos intercambios (pudiendo cruzarse energías de tiempos diferentes e incluso entrar en juego universos paralelos), pero deberían evitar esta paradoja temporal termodinámica en que crearíamos energía (suponiendo que se cumpla estrictamente la primera ley de la termodinámica a lo largo de la flecha del tiempo). Quizá se evitaría la paradoja con compensaciones de “masa-energía” en los procesos de viaje en el tiempo extrayéndolas de algún universo paralelo u otras formas.

Otra posibilidad sería redefinir la primera ley de la termodinámica afirmando que la superficie bajo la curva «masa-energía» a lo largo de una línea temporal es constante entre el inicio y final de ésta (en un periodo infinito de tiempo), o dicho de forma matemática, la integral respecto del tiempo de la función «masa-energía» es constante entre «t = 0» y «t = ∞» (infinito), con t = 0 como el instante inicial del universo. También se puede añadir que el valor de la integral entre dos puntos concretos «t = a» y «t = b» (con «a» y «b» valores de tiempo mayores que cero) depende de los límites de integración tomados: el valor de una integral específica entre dos momentos temporales dependerá siempre del intervalo «t» en el que integremos (He aquí la redefinición sacada del link enlazado: «The law of thermodynamics might be rewritten as follows: The amount of energy in any enclosed area over an infinite period of time remains constant.»).

Respecto al viaje en el tiempo con varias líneas temporales (con universos paralelos):

En este caso podemos viajar al pasado e intentar cambiarlo, pero seguimos suponiendo que la línea temporal de la que provenimos es rígida, puesto que, como hemos apuntado arriba, lo que en un momento y lugar ha existido, de alguna forma tiene que seguir existiendo en algún momento y/o lugar, ya que si no nunca habría existido (por este argumento, desechamos el que las líneas temporales puedan ser flexibles -que puedan cambiar-, pues introducirían paradojas). Con el intento de cambio del pasado pueden ocurrir dos cosas: que lo logremos (introduciendo una aparente paradoja), o que no.

– El último caso puede venir descrito en dos situaciones: porque de alguna forma no podamos cambiarlo aunque queramos, ocurriendo siempre algo que lo impida, o por el principio de autocoherencia de Novikov, que propone que nadie que viaje en el tiempo pueda generar una paradoja debido a que sus propias acciones resultarían coherentes con la línea temporal (aunque éste principio podría tener como consecuencia que todas las acciones estuvieran prefijadas de cara a la consistencia de la línea temporal, llevando a un determinismo que quizá acabara con el libre albedrío sin nosotros constatarlo).

– También tenemos el caso de que podamos cambiar el pasado, pero en base a la suposición de rigidez de nuestra línea, con el cambio introducido al viajar al pasado crearíamos un universo paralelo. Teniendo en cuenta esto, al regresar al futuro el viajero en el tiempo, podría llegar al futuro de esa línea paralela, no regresando a su línea original, y posiblemente creando otro universo paralelo más resultado de las variaciones introducidas en ese viaje al futuro que perturbaría la línea de nuevo.
Al estar creando nuevos universos paralelos, podríamos tener el mismo problema que en el caso de una sola línea temporal, por una posible violación del primer principio de la termodinámica (a menos que pueda solucionarse, o simplemente no se cumpla por alguna razón: ¿quizá en un hipotético procedimiento de viaje en el tiempo las reglas varíen?). Basándose en la teoría cuántica, que es probabilística, y afirmando que cuando algo ha ocurrido ya su probabilidad pasaría a ser del 100%, hay quien propone que los viajes al pasado serían sólo de visita, pero que volveríamos a nuestro tiempo original al regresar. Esto choca en parte con la observación previa que hemos tomado al inicio del texto, ya que esa línea de visita generada, al haber existido, tiene que pasar a existir de alguna forma Aunque se resolvería si fuera una línea paralela que perviviría mientras este el viajero en ella, destruyéndose al volver el viajero a la suya (quizá este universo paralelo colapsara sobre sí mismo en el momento del regreso del viajero), pero manteniéndose en algún tiempo y lugar –existiendo de hecho, aun no sabiendo ahora dónde ni cómo acceder a ese universo paralelo de duración limitada– ese pequeño intervalo de visita del viajero.

Apunte final: Ambas posibilidades de viaje en el tiempo con varias (o casi infinitas) líneas paralelas tienen sus inconvenientes de cara a su validez; no obstante hay que recordar que remarco que en todo lo concerniente a los viajes temporales podemos no estar teniendo en cuenta algo (es inevitable) y que la mente humana es suficientemente imaginativa y creativa como para llegar, si es posible, a solventar estos problemas como lo hizo antes a la hora de realizar otros hitos –para algunos “imposibles”–, como tratar de volar y demás ejemplos históricos.

Teoremas matemáticos, tautologías y ajedrez

Todo teorema matemático tiene incluido en sí mismo de forma tácita el sistema axiomático A (con sus axiomas, definiciones, postulados, reglas, etc.) en el que se sustenta. Supongamos un teorema T. Este teorema T sería en realidad T’ (T prima), de tal forma que T’ se enunciaría de la siguiente manera: «Supuesto un sistema axiomático A, deberá cumplirse T».
T’ es un artificio para revelar explícitamente la dependencia de unos axiomas y reglas del teorema T original.
T’ se va a cumplir siempre; es una tautología, como todas la proposiciones matemáticas si están correctamente derivadas (para una visión conceptual acerca de los sistemas axiomático conviene consultar en el Capítulo 8 («Axiomática») del libro «Conceptos de matemática moderna» de Ian Stewart).
Los axiomas y las reglas que se usan en un sistema matemático están implícitas, se encuentran de forma tácita en cada teorema, el que no se expliciten no significa que no estén presentes.
Por hacer una analogía con el ajedrez, un teorema sería la posición de las piezas tras una partida con todos sus movimientos; con unas reglas mediante las cuales se han realizado los movimientos, que pueden ser comparables con los pasos lógicos de una demostración matemática; y con unos axiomas, que podrían simbolizarse en la posición inicial de las piezas y cuántas y cuáles son.
Pero los sistemas matemáticos no se pueden aplicar a la ligera en el mundo físico, no son válidos siempre cuando se trasladan como herramienta para hacer Física y tratar de comprender el universo. Por ejemplo, tomando los axiomas de Euclides generamos la geometría euclídea; pero eliminando el axioma de las paralelas podemos conseguir geometrías no euclídeas (según qué postulemos obtendremos la geometría hiperbólica o la elíptica), distintas de la anterior (donde el axioma de las paralelas sería falso) pero también consistentes (es decir, con un sistema de axiomas que no se contradicen entre sí).
Todos estos sistemas axiomáticos son válidos formalmente, lo discutible sería el ámbito de aplicación en Física. La geometría euclídea se podría usar en un ámbito clásico -por así llamarlo- de la Física y las no euclídeas se usarían, por ejemplo, en cosmología.

La inconsistencia y la completitud en el Cristianismo

En mi post «Dios, completitud e inconsistencia» propongo una visión de Dios como un Ser capaz de manejar la inconsistencia, la contradicción. El Cristianismo -al margen de que se pueda creer o no- es una religión que asume de una forma muy natural la inconsistencia, lo que no quiere decir que no siga razonamientos. El ejemplo más evidente quizá sea la idea de la Trinidad, un Dios «uno y trino», con el Padre, el Hijo y el Espíritu Santo: 3 = 1. Una contradicción, una aparente inconsistencia que, en un sistema lógico sin principio de no contradicción, llevaría a la completitud.

Hay casos en las vidas de algunos santos en que parece haberse dado el hipotético fenómeno de la bilocación: «la presencia simultánea de una misma persona en dos lugares diferentes». De ser real, también sería -al menos supuestamente- una inconsistencia: una contradicción de las leyes de la Física y de la Lógica.

Además, en otras religiones como el Hinduismo también tienen una trinidad de dioses, Trimurti –«Triple forma»-, pero con cometidos diferentes: «Brahmā, creador de la vida, Vishnú, su conservador y Shiva, el destructor». Por lo que se podría aplicar el mismo razonamiento.

Las ideas expuestas en el post referido al comienzo podrían acabarse aplicando a estas religiones.

Dios, completitud e inconsistencia

«La lógica es invencible porque para combatir la lógica es necesario utilizar la lógica». Pierre Boutroux.

Como a veces he hecho, voy a escribir estas líneas como un juego matemático–filosófico extravagante más parecido al delirante «poema cosmogónico» que es el «Eureka» de Edgar Allan Poe que a un ensayo filosófico al uso -pues muy posiblemente algunos argumentos no serían del agrado de Torkel Franzén-, aunque puedan tener su validez dentro de su enfoque místico.
Existen tres principios básicos del funcionamiento de la lógica aristotélica clásica: el principio de identidad («todas las cosas son las que son»), el de no contradicción («no pueden ser ciertos a la vez A y su negación no–A») y el del tercero excluido («todo enunciado es o verdadero o no verdadero»). La «lógica multivalente» es aquella que no tiene el principio del tercero excluido entre sus premisas, pues tiene más ‘valores de verdad’ aparte de los de verdadero o falso, como de indeterminado. Pero los dos primeros principios se siguen cumpliendo y los sistemas son consistentes (no se dan contradicciones).
Imaginemos ahora la Nada, antes de una hipotética Creación. No existiría todo lo que conocemos y damos por hecho, por lo que no habría tampoco leyes de la lógica: sería posible la contradicción.
Veamos algunas consecuencias.
Podría decirse que habría «cero entes» en la Nada (dejando de lado que quizá los conceptos mismos de ‘cero’ o de ‘conjunto vacío’ pudieran no tener sentido planteárselos en la Nada) y el cero es igual a cero, afirmación que verificaría el principio de identidad, pese a no tener la obligación de cumplirlo necesariamente como hemos dicho con anterioridad. Pero 0 = 0 sólo sería uno de los resultados posibles porque, al no existir el principio de no contradicción, podríamos escribir la contradicción 0 = 1 y, a partir de ahí, 0 = 1 + 0 = 1 + 1 = 2 y todos los números naturales, luego los enteros y demás, llegando finalmente a poderse estructurar todo un sistema inconsistente matemático (por el momento sólo nos circunscribimos a las matemáticas y la lógica, aunque las leyes del razonamiento lógico afecten a otros campos del conocimiento, como la Ciencia o la Teología Natural, que trataremos más adelante). Sin embargo, todo sería una inmensa indeterminación, ya que se podría demostrar cualquier cosa debido a la contradicción (posible de no existir en la Nada el principio que la impide).
En el interesante y muy aprovechable libro de John D. Barrow, «La trama oculta del universo», vienen unas excelentes explicaciones -a un nivel accesible- de lógica y matemáticas que usamos en este artículo: las «definiciones» al inicio del presente texto que aclaran y sirven de resumen simplificado de cada uno de los tres principios lógicos aristotélicos y los pequeños párrafos que transcribiremos a continuación, además de la cita de Pierre Boutroux y la del Barón de Montesquieu que aparecerá más adelante. De Gödel dice que «estableció que cualquier sistema lógico lo bastante grande como para contener la aritmética ordinaria era necesariamente incompleto». Éste es el teorema de la incompletitud de Gödel, pero también hay un teorema que asevera que «el que un sistema sea consistente es completamente equivalente a que algún enunciado dentro del sistema sea inderivable. No es difícil ver que este curioso enunciado es verdadero. En efecto, si el sistema es consistente, entonces no debe ser posible derivar el enunciado que dice que algo es verdadero y que se negación también es verdadera. Por lo tanto, este es un enunciado inderivable. Recíprocamente, si el sistema es inconsistente, entonces, por definición, se puede probar que algún enunciado y su contrario son ambos verdaderos. Si esto es así, puede probarse que un enunciado cualquiera será verdadero. Por lo tanto, no habría enunciados inderivables en un sistema inconsistente».

El teorema de incompletitud de Gödel lo impide, pero se buscó infructuosamente durante mucho tiempo que «utilizando las reglas de deducción se pudiera demostrar que cualquier fórmula que se pueda formar con los símbolos de la aritmética es o verdadera o falsa. Si es posible una tal omnipotencia matemática, se dice que el sistema lógico es completo«. El teorema de Gödel (que niega la completitud de ciertos sistemas: «nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad», como viene en la Wikipedia) se sustenta en leyes lógicas como el principio de no contradicción pero, eliminándolo, un sistema lógico puede ser completo a costa de la inconsistencia y, por tanto, no revestiría en principio de interés debido a su indeterminación intrínseca: todo podría demostrarse en el sentido que quisiéramos, «toda fórmula tiene prueba».

Como hemos visto, la inconsistencia nos lleva a que cualquier enunciado sea verdadero, lo que en el fondo es una indeterminación total que no nos sirve en Ciencia (no nos permitiría concretar nada, ni hacer predicciones de hechos), pero, supuestamente, haría posible todo: si -de existir- Dios es omnipotente o todopoderoso, no tendría por qué estar sujeto a las leyes de la lógica; y nuestro universo podría ser sólo un caso particular con estas tres leyes lógicas restrictivas -y en realidad sólo dos, porque el principio del «tercero excluido» puede no darse en todo ámbito de lo que conocemos- que percibimos mediante nuestro sentido común en el seno de un sistema completo e inconsistente; omnipotente pero indeterminado y regido por un Ser que incluye distintas leyes en este caso particular que es nuestro universo, siendo éste una parte consistente e incompleta dentro de un total inconsistente y completo.

En definitiva, Dios puede contradecirse. Por responder a una cuestión expuesta por Homer Simpson que me propuso un amigo mío: «¿Puede Dios crear una rosquilla tan grande que ni él pueda acabarse?», pregunta que en realidad es una reformulación de la «paradoja de la omnipotencia». Claro que sí, pues puede contradecirse al poder ser «completo»: Dios, al ser todopoderoso, omnipotente debería tener una capacidad potencial para crear un sistema completo que contenga a la aritmética; pudiéndolo hacer si es capaz de «manejar» la inconsistencia. «Existe un dicho según el cual si los triángulos concibiesen un dios, lo imaginarían con tres lados», dijo el Barón de Montesquieu, por lo que, pese a la aparente sorpresa y nuestra dificultad para imaginarlo, no debiera ser vista como inviable o descabellada la idea de un Dios que pueda no estar atado al principio de no contradicción (pero en cambio incluyéndolo en un universo que Él decide crear).

Si en la Nada no existe el principio de no contradicción, todo enunciado es verdadero como dije antes, y cero (la Nada) es, en principio, igual a cualquier cosa. Más que haber la Nada en el comienzo, sería el Caos -¿equivalente a la idea de un Dios o incluido en Él?-, producto de la «inmensa indeterminación» que mencionamos arriba. Un Caos como viene recogido en algunas leyendas o mitos (o incluido en algunas teologías) y hay un Dios que lo ordena todo y así «crea» nuestro universo (en el que se incluyen las tres leyes lógicas aristotélicas).

Quizá las mitologías griega y egipcia no anduvieran erradas al creer en un caos primigenio (que «toma conciencia de sí mismo» en el caso de los egipcios: ver la «Mitología Universal» de Juan B. Bergua) y la Creación sería el ordenamiento de todo; teorías como la del inconsciente colectivo y los arquetipos de Carl Gustav Jung podrían llegar a explicar, como un remedo de «implante» divino en el alma humana, el por qué algunas leyendas tienen a una situación caótica (y su ordenamiento) como Origen de las cosas.

Bourbaki, la lógica y las matemáticas

Leyendo el libro «La trama oculta del universo», del ‘premio Templeton’ John D. Barrow, he encontrado un pasaje relacionado de alguna forma con mi post «Ciencia, Matemáticas y Medida» que por su interés voy a transcribir (la negrita es mía):

<<Bourbaki debe responder también al reto de contestar a la pregunta crucial, planteada aquí por Einstein:

¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano, independiente de la existencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad?

Él ve que el verdadero curso de la obra de los matemáticos es la elucidación de las estructuras básicas de la lógica. Si se exploran éstas en su totalidad englobarán todas las interrelaciones sancionadas por la lógica. El mundo que nos rodea se ve como una realización particular de algunas de estas estructuras para que puedan ser ejemplificadas o modeladas por las interrelaciones concretas de las cosas materiales. Puede dársele la vuelta al hecho de que las estructuras matemáticas formales carezcan de significado: en lugar de mantener que no se aplican a nada, uno puede mantener que se aplican a todas las posibilidades. El universo observado no es sino una de ellas.>>

Para aclarar a quien no lo sepa quién es «Nicolas Bourbaki», diré que es el pseudónimo colectivo –supuestamente tomando el apellido de un oficial del ejército que destacó en la guerra franco–prusiana– de un grupo de matemáticos franceses surgido a finales de los años 30 del siglo XX que pretendían revisar los fundamentos de las matemáticas dotándolas de un mayor rigor siguiendo un método axiomático. En palabras de Barrow en el libro citado: «Ellos personifican las últimas esperanzas de los formalistas; prevalecen la axiomática, el rigor y la elegancia monótona; los diagramas, los ejemplos y lo particular son evitados en favor de lo abstracto y lo general.» Y es que hay muchas dificultades, enfoques y puntos de vista a la hora de definir las matemáticas y sus fundamentos.

Ciencia, Matemáticas y Medida

Se considera que hay tres tipos de Ciencia: ciencias formales (lógica y matemáticas), ciencias naturales (aquellas que se valen del «método científico») y las ciencias sociales («se ocupan de los aspectos del ser humano» no tratados en las «ciencias naturales»). Las ciencias formales y las naturales han tenido desde siempre una estrecha relación, pero son diferentes. En Matemáticas un término o un conjunto concreto viene dado en sí mismo, sólo se diferencia en la forma de expresarlo, por ejemplo: 1+1=2; pero en las «ciencias naturales» es diferente: no es lo mismo dos masas de un kilogramo, cada una por separado, que una masa de 2 kilos; hay que hacer una labor de ‘interpretación física’ de los resultados numéricos y sus relaciones. Dicho esto, a partir de aquí, en este artículo, llamaré «Ciencia» con mayúsculas sólo a las formales y naturales, pues pretendo establecer una distinción entre éstas y las ciencias sociales, ya que no todas éstas debieran, al menos por el momento, considerarse como «Ciencia pura» según las razones que voy a exponer.
Aquella «ciencia» en que no intervienen relaciones numéricas o lógicas no es en verdad Ciencia. Siempre tomamos como perteneciente al ámbito de la Ciencia aquello que se puede medir de alguna manera y, como dijo un profesor mío, «medir es comparar con la unidad«. La Matemática se vio durante mucho tiempo como la «Ciencia de las Magnitudes», «que encuentra métodos por medio de los cuales [las magnitudes] pueden ser medidas», tal y como la consideraba Euler. Ahora se considera simplista esta denominación, ya que en el siglo XIX pasó a denominarse como la «ciencia de las relaciones», por lo que, pese a diversas precisiones de la matemática moderna (nuevas ideas como las de «variedad» o «conjunto» dejaron atrás por su vaguedad a la idea de «magnitud»; conviene consultar para ver algo de este proceso histórico la introducción del libro «Riemanniana Selecta» editado y anotado por José Ferreirós). Para resumir y simplificando trataremos a las Matemáticas como la «ciencia de las magnitudes y las relaciones entre ellas». Diferentes relaciones entre magnitudes de distinto tipo se han expresado mediante las matemáticas, siendo una ‘magnitud’ «todo lo que es susceptible de incremento o disminución», según decía Euler. Al realizar la «medida» de algo, le asignamos una magnitud o magnitudes, por lo que es de esperar que la Ciencia venga dada por leyes con base matemática. Si la Ciencia trata todo aquello que se puede medir y las matemáticas la forma de relacionar magnitudes, no debe sorprender que las medidas de magnitudes y sus relaciones se expresen de forma matemática.
La Ciencia va a sustentarse en modelos matemático-lógicos (o formales) siempre. Incluso cuando tenemos procesos aparentemente no deterministas -como la Mecánica Cuántica– hacemos medidas en un determinado número de experimentos para ver si se cumplen unas probabilidades definidas matemáticamente.
Con esto espero disipar la actitud de sorpresa de algunos frente a la Ciencia debido a que se describa usando leyes matemáticas. Es claro que deba ser así, pues así se deduce de las definiciones que damos; otra cosa es plantearse el fondo filosófico, el por qué el universo se comporta de forma lógica y podemos medir y relacionar tantos procesos. De todas formas, pudiera haber procesos que no podamos medir bien y, por tanto, no los englobemos aún como Ciencia aunque también puedan ser reales. Un ejemplo pueden ser Ciencias Sociales como la Psicología, que pese a los avances a la hora de tratar de medir ciertos aspectos, aún no es en su totalidad una ciencia pura según los cánones que he expuesto, al no poderse medir con suficiente precisión (por no mencionar algunas áreas de la Psicología que ni siquiera se consideran falsables). Sin embargo, se usan algunas técnicas y éstas funcionan, por lo que son reales muchas de sus descripciones. En cambio, muchas áreas de Ciencias Naturales como la Biología tienen su tratamiento matemático y ‘capacidad de predicción a partir de condiciones dadas’ -esto último entronca con las «ciencias formales», pues hay «causa-efecto» entre fenómenos, lo cual entra en el ámbito del estudio lógico-, aspectos básicos para que una ciencia sea Ciencia (pese a las lagunas que siempre pueden existir). Recordemos la posición de Kant respecto a la Química, pues la consideraba un «arte sistemática» en lugar de «Ciencia», pero una vez ésta empezó a tratarse de forma más rigurosa y predecible con Lavoisier, pasó a adquirir la categoría de Ciencia. Esto no quiere decir que partes de las Ciencias Sociales no tengan un tratamiento científico bastante riguroso -como, por ejemplo, en la Economía e incluso en la propia Psicología– y, puedan, por tanto, casi considerarse como «Ciencia con mayúsculas». Con todo esto, cabe añadir además que la frontera entre las «Ciencias Naturales y Formales» y las «Ciencias Sociales», o entre «Ciencia» y «Artes Sistemáticas», es más bien difusa, por lo que debemos finalmente aceptar que todas estas materias son realmente «Ciencia» -tengamos en cuenta que la palabra viene del latín «scientia», «conocimiento»-, pero con diferentes gradaciones de formalismo.
Mucho de lo que ahora no podemos denominar como Ciencia bajo un enfoque estricto puede deberse sólo a la complejidad de la materia de la que se ocupa, pero con herramientas más potentes podremos, en un futuro, tratar de forma absolutamente científica aspectos que ahora sólo se ven como un «arte sistemática», como hizo Lavoisier con la Química. Ésta es y será una labor apasionante; miremos al futuro con optimismo y tengamos confianza en el progreso, capacidad, inventiva, tenacidad y curiosidad innata del espíritu humano en su incesante busca del Saber y el Conocimiento.