La reducción al absurdo, que tanto le gustaba a Euclides, es una de las más poderosas armas de un matemático. Va más allá que cualquier gambito en el ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer en sacrificio un peón o incluso una pieza mayor, pero un matemático ofrece el juego.
Godfrey Harold Hardy (1877-1947), matemático británico,
“A Mathematician’s Apology”
El principio lógico del tercero excluido dice lo siguiente: Toda proposición es verdadera o falsa, y entre estos dos valores de verdad no se admite nada intermedio o “tercero”; o, en términos semánticos, si dos proposiciones son contradictorias, al menos una de ellas es falsa. Muchos consideran que este principio es derivado del principio de identidad, ya que una cosa es o no es (versión ontológica) o ente dos cosas contradictorias no cabe término medio (versión lógica).
Brouwer -fundador de la corriente del intuicionismo en las matemáticas-, en cambio, objeta que el principio del tercero excluido es una abstracción que resulta de la experiencia respecto de objetos finitos y que se extendió a aquellos infinitos sin justificación.
Por su parte, Łukasiewicz y Tarski construyeron una lógica trivalente «cuyos valores de verdad son lo verdadero, lo falso y lo posible». «En esta lógica no tiene lugar el principio de tercero excluido, en el sentido de que el principio no es expresable con los símbolos de la lógica misma y no constituye un teorema de ésta. En la lógica intuicionista de Heyting existen tres valores de verdad: verdadero, falso e indeterminado, lo que implica la renuncia a la demostración recurriendo a la reducción al absurdo.»
Si renunciamos a la reducción al absurdo, hay muchas demostraciones que no podrían realizarse (entre ellas, muchas de las demostraciones de la inexistencia de Dios -tal y como especulo en mi post anterior-). Por tanto, aunque las demostraciones conocidas de la existencia de Dios no son concluyentes, es cierto que las de la inexistencia de Dios tampoco lo son, al no ser válidas para absolutamente todo tipo de lógica matemática (y es posible que Dios, de existir, haga uso de este tipo de lógicas -o incluso de otras que ni siquiera seamos capaces de imaginar-).
Todas las demostraciones de inexistencia de Dios que conozco se basan en técnicas como la de «reducción al absurdo» o la de «contradicción», luego no hay que considerar como demostraciones absolutamente certeras aquellas que usen estas técnicas (sería interesante reflexionar sobre la posibilidad de usar otras técnicas aparte de éstas, puesto que se ha visto que son limitadas). Por tanto, las «demostraciones» -que ya no son tales, así que mejor llamarlas «argumentos»- acerca de la existencia o no de Dios se deberían ver más como una tentativa por nuestra parte de llegar a entender cómo es Dios y por qué es así -la «esencia» de Dios y su forma de actuar y atributos-, y como análisis de las dificultades filosóficas y lógicas sobre cómo sería Dios -si existe- bajo «diversas condiciones y definiciones», que como demostraciones absolutamente irrefutables (por ejemplo, se pueden hacer argumentaciones acerca de la existencia de Dios partiendo de puntos de vista distintos, con «condiciones» diferentes: tocando el aspecto cosmológico –como hacía Santo Tomás de Aquino-, con un argumento ontológico -como hacía San Anselmo– o viéndolo como un problema teleológico).
Circunscribiéndonos a la lógica formal aristotélica, quedaría por ver el método «directo» de demostración, fundamentado en un sistema axiomático. Pero todas estas argumentaciones acabarían por reducirse esencialmente a dos posibilidades de carácter tautológico: 1) «Dios existe, por tanto existe»; y 2) «Dios no existe, por tanto no existe». Con ello, desde la lógica aristotélica no podemos extraer nada nuevo, derivando la cuestión a un problema de «verificabilidad de los axiomas«.
Como se acaba de ver, el hecho de negar el principio del tercero excluido, aparte de llevar a la aparición de unas interesantes y peculiares lógicas no clásicas –como la trivalente que hemos mencionado-, sirve para negar que las demostraciones de la inexistencia de Dios sean válidas para todo sistema lógico (en todo caso se pasaría el debate a los argumentos en defensa de una u otra opción para tratar de detectar cuál es la más probable, pero difícilmente «certera»).
Apuntes y digresiones 
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